題意：給出一個數列的遞推式，求前n項和。

（因為圖片載入不上，遞推式自己去HDU6304看吧）

思路：這個題的n非常大（預處理不現實，所以先找規律吧），並且查詢的組數T<=1e5,(T非常大）所以一定是一個log級別的查詢

我的思路跟題解可能不太一樣，我下面寫的是我比賽時的具體思考過程。

打表：

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int a[1050];
int main()
{
    a[1]=a[2]=1;
    for(int i=2;i<100;i++)
    {
        a[i]=a[i-a[i-1]]+a[i-1-a[i-2]];
        printf("%d\n",a[i]);
    }
}
 

1 1 2 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 16 16 16 16 16

看這個規律，你會發現所有的奇數都是出現了1次（除了1），那麼先不管奇數，只看偶數

2 2 4 4 4 6 6 8 8 8 8 10 10 12 12 12 14 14 16 16 16 16 16 18 18 20 20 20 22 22 24 24 24 24 26 26 28 28 28 30 30 32 32 32 32 32 32 34 34 36 36 36 38 38 40 40 40 40

現在只看每個數字出現的個數（***數字出現的個數***

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  6   （這些是到32的規律）

然後我猜想後面的規律為：2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  7

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  6

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  8

看到a[256]=128,並且128是出現了8次，完全跟我猜的次數一樣。那麼我就知道規律了

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  6   

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  7

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  6

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2 8

將上面4行從中間分成兩份，只有最後一個數字多了一個1，其他數字都一樣

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  6   

2  3  2  4  2  3  2  5  2  3  2  4  2  3  2  7

前兩行也符合。

2  3  2  4  2  3  2  5                  2  3  2  4  2  3  2  6   

第一行也符合

2  3  2  4            2  3  2  5

一直這樣分下去

2  3       2  4

2       3

還記得當時省略的那些 1 嗎？

（因為最前面的那個1不符合規律，所以先將那個1忽略了，然後前幾項如下所示）：
1 2 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 16 16 16 16 16

---> 數字大小：1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16

---> 出現次數：1  2  1  3  1  2  1  4  1   2   1   3   1   2   1   5  （上面的數字出現了多少次，也正是上面的那個數列了）

這裡一定要先理清楚，再看下面。

剛才說了這些都是有那個規律的   2  3  2  4               2  3  2  5

現在我們把1加上， 1  2  1  3  1  2  1  4               1  2  1  3  1  2  1  5同樣符合那個規律

1  2  1  3          1  2  1  4 （中間的空格代表分成了兩部分，後一部分的最後一個數字，比前面的那個多1）

1  2         1  3  

1       2

這個規律很明顯，這個只是第一步，找到了規律，現在需要將規律總結成公式

前幾項和s[ i ] :  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16

---> 數字大小：1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16

---> 出現次數：1  2  1  3  1  2  1  4  1   2   1   3   1   2   1   5

s[1]=   1*1=1;
s[2]=s[1]+2*2=5;
s[3]=s[2]+3*1=8;
s[4]=s[3]+4*3=20;
這樣推下去的話s陣列肯定是開不下的，因為n<=1e18.所以考慮倍增思想。
我用s[0]表示前2^0項，s[i]表示前2^i項的總和。
那麼我們就可以重新寫出s陣列的值了

s[0]=1;
s[1]=5;
s[2]=20;
s[3]=.....;
現在我們不能用數列來求s[ ]陣列，應該利用規律，將s[i]=s[i-1]+  F( i ) ;
現在應該思考s[i]和s[i-1]有什麼關係。

---> 數字大小：1  2  3  4  5  6  7  8

---> 出現次數：1  2  1  3  1  2  1  4

（我將s[2]簡寫成s2了）假設已知s2=1*1+2*2+3*1+4*3；

s3=s2+ 5*1+6*2+7*1+8*4 ;

1*1+2*2+3*1+4*3
5*1+6*2+7*1+8*4
觀察黑體數字，這個規律再上面已經證明過了，只有最後一個數字多了1，其他都一樣，那麼我們最後再算那個多出來的數字

1*1+2*2+3*1+4*3
5*1+6*2+7*1+8*3       +8（這個8最後再算，先看前面這個式子怎麼求）

用下面的這個式子減去上面這個式子得

4*1+4*2+4*1+4*3，是不是發現前面的那個差是一樣的，（將差（4）提出來）

4*（1+2+1+3）；

所以現在s3=s2+   (s2+4*（1+2+1+3）+8);這個式子很關鍵一定要看懂

---> 出現次數：1  2  1  3  1  2  1  4  1   2   1   3   1   2   1   5

這個數列還記得吧，因為求s3需要這個式子的前幾項和，所以我定義a[i]為次數的前2^i項和（跟s陣列的定義是一樣的）

那麼a0=1;
a1=3;
a2=7;
a3=15;
a陣列是不是一眼就看出了規律。a[i]=2^(i+1) -1;

s3=s2+   (s2+4*（1+2+1+3）+8);

那麼這個式子是不是可以化簡成s3=2*s2 + 4*a2 + 8 ;
現在再思考4和8又是什麼。4是差值，也就是兩段數字的差值了，也就是前面一段的長度4，這個應該也很好理解
那8呢？是你所求的最後一個數字，並且這個數字一定是2的次冪，8=2^3

所以s3=2*s2+2^2*a2+2^3;

將這個式子轉換成sn

及sn=2*s(n-1)+2^(n-1)*a(n-1)+2^n;（這些sn和an都是可以直接預處理出來的）（求到s61就夠用了）

並且an=2^(n+1)-1;

到這裡題目就已經解決了一半了。

現在我們自己已經總結出來的規律的公式。現在要想的是怎麼將題目要求的前n項轉化為我們已知的sn和an。（想辦法往公式上套就行了）

重點來了：現在求n=100的答案；

我們的sn表示的都是規律的前2^n項，那麼我們要把100轉化成2的次冪的形式

---> 數字大小：1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16

---> 出現次數：1  2  1  3  1  2  1  4  1   2   1   3   1   2   1   5

現在再看這個數列的規律，我們先理一下思路，因為這裡有個比較繞的東西。

首先前n=100項的和是不是包含第一項1，我們的規律是不包含最前面的1的，所以1最後單獨處理

所以也就是求我們規律的前99項，對吧
現在理清楚前99項對於規律到底是個啥東西。

首先a陣列表示的是數字的個數，a0=1表示規律的前一項。a1=3表示規律的前五項，a2=7表示規律的前七項，
an=2^(n+1)-1;
sn對應的是an，

所以將99對應an=2^(n+1)-1;才能對應sn（an對應的所有項的答案就是sn）

所以要將99轉化為2的冪次-1，才行。

99=63+31+3+1+1，轉化完之後再分別求即可。99相當於分成了5段，第一段長度為63，第二段長度為31，以此類推

第一段長度為63怎麼求，

a5=2^(5+1) -1=63; 所以63對應的是a5,對應的答案的貢獻是s5，所以前63項就求出來了，就是s5.

接著求第二段長度為31，（這裡是難點）這個求法跟前面推sn的遞推式是一樣的。

這段的31個數字跟最前面的31個數字出現的次數是一一對應相等的，只是數字大小不同，而且數字大小差值，是能求出來的是32

做差為32*（a5）

為了能講清楚，我把第一段前63項打出來：1 2 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 16 16 16 16 16 17 18 18 19 20 20 20 21 22 22 23 24 24 24 24 25 26 26 27 28 28 28 29 30 30 31 32 32 32 32 32 32

第二段長度31：33 34 34 35 36 36 36 37 38 38 39 40 40 40 40 41 42 42 43 44 44 44 45 46 46 47 48 48 48 48 48

請注意：1 2 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 8 8 8 9 10 10 11 12 12 12 13 14 14 15 16 16 16 16 16的和是不是s4（s4表示前a4=2^5-1項的和）

第二段每個數字比s4表示的數字都多了32，那麼第二段的和就等於s4+32*a4.比s4總共多了a4個32；

這點比較難理解，剩下的就好辦了（看不懂這裡的再回去看一下我是怎麼推出sn的，方法是一樣的，利用的也是差值）

剩下的第三段跟第二段計算方法一樣，第三段的和= s1+(32+16)*a1;

第四段的和= s0+(32+16+2)*a0;

第五段的和= s0+(32+16+2+1)*a0;

所以前100項的和就等於s5+s4+32*a4+s1+(32+16)*a1+s0+(32+16+2)*a0+s0+(32+16+2+1)*a0;

附上比賽時的AC程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1e9+7;
LL s[105],a[105],fac[105];//fac[i]=2^i,s和a陣列跟部落格裡講的一樣
void init()//預處理
{
    fac[0]=1;
    s[0]=1;
    a[0]=1;
    for(LL i=1;i<=61;i++)fac[i]=fac[i-1]*2;
    for(LL i=1;i<=61;i++)a[i]=(fac[i+1]-1+mod)%mod;
    for(LL i=1;i<=61;i++)s[i]=(s[i-1]*2%mod+(fac[i-1]%mod)*a[i-1]%mod+fac[i])%mod;
}
LL query(LL x)
{
    LL y=x,ans=0,t=0;//t來儲存差值
    for(LL i=61;i>=1;i--)
    {
        while(y>=fac[i]-1)
        {
            ans=(ans+s[i-1]+t*(a[i-1]))%mod;
            t=(t+fac[i-1])%mod;//更新差值
            y-=fac[i]-1;
        }
    }
    return (ans+1)%mod;//+1是加上第一項的1
}
int main()
{
    init();
    LL t,n;
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        printf("%lld\n",query(n-1));//我們推得規律是不包含第一項的，所以n先-1。最後加上即可
    }
    return 0;
}