概念簡述

聚類是什麼呢？我們都聽說過“物以類聚”，即把“志同道合”的 資料分到一起歸為一類，不同類之間在”志向“上具有較大分歧。舉個栗子，茫茫人生中，我們普通大眾會被God根據緣分進行聚類，緣分好的話，會成為朋友，甚至成為了可以互訴衷腸，”餘生請指教“的男女盤友，那緣分不好的應該是一生從未謀面或者一面之緣或者是如《再見前任3》中那樣成為了最熟悉的陌生人…好像扯遠了。
言歸正傳，用標準的普通話來說，聚類是將資料集中的樣本劃分為若干個通常是不相交的子集，每個子整合為一個“簇”，用正規的外星人語言來說，對於樣本D={x1,x2,...,xm}$D=\left\{x_1,x_2,...,x_m\right\}$包含m$m$個無標記樣本，每個樣本

xi={xi1;xi2;...;xin}$x_i=\left\{x_{i1};x_{i2};...;x_{in}\right\}$是一個n$n$維特徵向量，則聚類演算法將樣本集D$D$劃分為k$k$個不相交的簇{Cl|l=1,2,...,k}$\left\{C_l|l=1,2,...,k\right\}$，其中Cl′∩l′≠lCl=∅$C_{l^{{\prime }^{}}}{\cap }_{l^{{\prime }^{}}\ne l}{C}_l=\varnothing$且D=∪kl=1Cl$D={\cup }_{l=1}^k{C}_l$，相應地，用λj∈{1,2,...,k}${\lambda }_j\in \left\{1,2,...,k\right\}$表示樣本xj$x_j$的“簇標記”，即xj∈Cλj$x_j\in C_{{\lambda }_j}$。於是聚類的結果可用包含m個元素的簇標記，記向量λ=(λ1;λ2;...;λm)$\lambda =\left({\lambda }_1;{\lambda }_2;...;{\lambda }_m\right)$。舉個栗子，對於具有10$10$個樣本的資料集D$D$，其中每個樣本xi

$x_i$含有2$2$維特徵，分成2$2$類的結果如下：

聚類通常用來對無標記訓練樣本的學習來揭示資料內在性質及規律，為進一步的資料分析提供基礎，是“無監督學習”中應用最廣的研究方法。那麼問題來了，如何衡量聚類結果的好壞呢？按照什麼樣的“緣分”分類呢？官方的話來說聚類有哪些效能度量以及距離計算方法。

效能度量

我們通常按照一個標準來分析聚類之後的結果，簡單來說這個標準是“簇內相似度高，簇間相似度低”，下面我們用一堆“指數”，“係數”來數學化引號裡面的內容，權當填補那些好奇心強盛的孩紙們…

效能度量分類：

聚類效能度量的主要分為兩類，一類是將聚類結果與某個“參考模型”進行比較，成為“外部指標”；另一類是直接考察聚類結果而不用任何參考模型，成為“內部指標”。

1. 外部指標

“外部指標”通常有Jaccard係數(Jaccard Coefficient，簡稱JC)、FM係數(Fowlkes and Mallows Index，簡稱FMI)、Rand指數(Rand Index，簡稱RI)。

• JC:
  JC=aa+b+c(1.1)$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& \mathrm{J}\mathrm{C}=\frac{a}{a+b+c}\end{array}$$
• FMI:
  FMI=aa+b⋅aa+c−−−−−−−−−−−√(1.2)$$\begin{array}{}\text{(1.2)}& \mathrm{F}\mathrm{M}\mathrm{I}=\sqrt{\frac{a}{a+b}\cdot \frac{a}{a+c}}\end{array}$$
• RI
  RI=2(a+d))m(m−1)(1.3)$$\begin{array}{}\text{(1.3)}& \text{RI}=\frac{2(a+d))}{m(m-1)}\end{array}$$
  假設，資料集

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