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位運算n & (n-1)的妙用

n&(n-1)作用:將n的二進位制表示中的最低位為1的改為0,先看一個簡單的例子:
n = 10100(二進位制),則(n-1) = 10011 ==》n&(n-1) = 10000
可以看到原本最低位為1的那位變為0。
弄明白了n&(n-1)的作用,那它有哪些應用?

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1、 判斷一個數是否是2的方冪
n > 0 && ((n & (n - 1)) == 0 )

解釋((n & (n-1)) == 0):

如果A&B==0,表示A與B的二進位制形式沒有在同一個位置都為1的時候。

那麼本題到底啥意思??

不妨先看下n-1是什麼意思。

   令:n=1101011000(二進位制,十進位制也一樣),則

    n-1=1101010111。

n&(n-1)=1101010000

由此可以得出,n和n-1的低位不一樣,直到有個轉折點,就是借位的那個點,從這個點開始的高位,n和n-1都一樣,如果高位一樣這就造成一個問題,就是n和n-1在相同的位上可能會有同一個1,從而使((n & (n-1)) != 0),如果想要

((n & (n-1)) == 0),則高位必須全為0,這樣就沒有相同的1。

所以n是2的冪或0

2. 求某一個數的二進位制表示中1的個數
while (n >0 ) {
      count ++;
      n &= (n-1);
}

3. 計算N!的質因數2的個數。
容易得出N!質因數2的個數 = [N / 2] + [N / 4] + [N / 8] + ....
下面通過一個簡單的例子來推導一下過程:N = 10101(二進位制表示)
現在我們跟蹤最高位的1,不考慮其他位假定為0,
則在
[N / 2]    01000
[N / 4]    00100
[N / 8]    00010
[N / 8]    00001
則所有相加等於01111 = 10000 - 1
由此推及其他位可得:(10101)!的質因數2的個數為10000 - 1 + 00100 - 1 + 00001 - 1 = 10101 - 3(二進位制表示中1的個數)


推及一般N!的質因數2的個數為N-(N二進位制表示中1的個數)

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