在n不確定的情況下生成k個隨機數
阿新 • • 發佈：2019-02-01
在n不明確的情況下，隨機取k個元素。
轉自：http://wansishuang.iteye.com/blog/443902
隨即抽樣問題：
要求從N個元素中隨機的抽取k個元素，其中N無法確定。
是在 《計算機程式設計與藝術》 中看到的這個題目，書中只給出瞭解法，沒給出證明。
解決方法是叫Reservoir Sampling （蓄水池抽樣）
Init : a reservoir with the size： k
for i= k+1 to N
M=random(1, i);
if( M < k)
SWAP the Mth valueand ith value
end for
證明：
每次都是以 k/i 的概率來選擇
例: k=1000的話， 從1001開始作選擇，1001被選中的概率是1000/1001，1002被選中的概率是1000/1002，與我們直覺是相符的。
接下來證明：
假設當前是i+1, 按照我們的規定，i+1這個元素被選中的概率是k/i+1，也即第 i+1 這個元素在蓄水池中出現的概率是k/i+1
此時考慮前i個元素，如果前i個元素出現在蓄水池中的概率都是k/i+1的話，說明我們的演算法是沒有問題的。
對這個問題可以用歸納法來證明：k < i <=N
1.當i=k+1的時候，蓄水池的容量為k，第k+1個元素被選擇的概率明顯為k/(k+1), 此時前k個元素出現在蓄水池的概率為 k/(k+1), 很明顯結論成立。
2.假設當 j=i 的時候結論成立，此時以 k/i 的概率來選擇第i個元素，前i-1個元素出現在蓄水池的概率都為k/i。
證明當j=i+1的情況：
即需要證明當以 k/i+1 的概率來選擇第i+1個元素的時候，此時任一前i個元素出現在蓄水池的概率都為k/(i+1).
前i個元素出現在蓄水池的概率有2部分組成, ①在第i+1次選擇前得出現在蓄水池中，②得保證第i+1次選擇的時候不被替換掉
①.由2知道在第i+1次選擇前，任一前i個元素出現在蓄水池的概率都為k/i
②.考慮被替換的概率：
首先要被替換得第 i+1 個元素被選中(不然不用替換了)概率為 k/i+1，其次是因為隨機替換的池子中k個元素中任意一個，所以不幸被替換的概率是 1/k，故
前i個元素中任一被替換的概率 = k/(i+1) * 1/k = 1/i+1
則沒有被替換的概率為: 1 - 1/(i+1) = i/i+1
綜合① ②,通過乘法規則
得到前i個元素出現在蓄水池的概率為 k/i * i/(i+1) = k/i+1
故證明成立
轉自：http://wansishuang.iteye.com/blog/443902
隨即抽樣問題：
要求從N個元素中隨機的抽取k個元素，其中N無法確定。
是在 《計算機程式設計與藝術》 中看到的這個題目，書中只給出瞭解法，沒給出證明。
解決方法是叫Reservoir Sampling （蓄水池抽樣）
Init : a reservoir with the size： k
for i= k+1 to N
M=random(1, i);
if( M < k)
SWAP the Mth valueand ith value
end for
證明：
每次都是以 k/i 的概率來選擇
例: k=1000的話， 從1001開始作選擇，1001被選中的概率是1000/1001，1002被選中的概率是1000/1002，與我們直覺是相符的。
接下來證明：
假設當前是i+1, 按照我們的規定，i+1這個元素被選中的概率是k/i+1，也即第 i+1 這個元素在蓄水池中出現的概率是k/i+1
此時考慮前i個元素，如果前i個元素出現在蓄水池中的概率都是k/i+1的話，說明我們的演算法是沒有問題的。
對這個問題可以用歸納法來證明：k < i <=N
1.當i=k+1的時候，蓄水池的容量為k，第k+1個元素被選擇的概率明顯為k/(k+1), 此時前k個元素出現在蓄水池的概率為 k/(k+1), 很明顯結論成立。
2.假設當 j=i 的時候結論成立，此時以 k/i 的概率來選擇第i個元素，前i-1個元素出現在蓄水池的概率都為k/i。
證明當j=i+1的情況：
即需要證明當以 k/i+1 的概率來選擇第i+1個元素的時候，此時任一前i個元素出現在蓄水池的概率都為k/(i+1).
前i個元素出現在蓄水池的概率有2部分組成, ①在第i+1次選擇前得出現在蓄水池中，②得保證第i+1次選擇的時候不被替換掉
①.由2知道在第i+1次選擇前，任一前i個元素出現在蓄水池的概率都為k/i
②.考慮被替換的概率：
首先要被替換得第 i+1 個元素被選中(不然不用替換了)概率為 k/i+1，其次是因為隨機替換的池子中k個元素中任意一個，所以不幸被替換的概率是 1/k，故
前i個元素中任一被替換的概率 = k/(i+1) * 1/k = 1/i+1
則沒有被替換的概率為: 1 - 1/(i+1) = i/i+1
綜合① ②,通過乘法規則
得到前i個元素出現在蓄水池的概率為 k/i * i/(i+1) = k/i+1
故證明成立