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Matrix Free(Jacobian Free)方法及其在流動穩定性理論中的應用

小擾動控制方程

對於非線性系統

qt=N(q)
在平衡點 qb 附近線性化,得到小擾動的控制方程
qt=Fq
線性運算元F與非線性運算元N之間存在的關係為
F=N/q|qb
對於複雜系統來說,線性運算元F的表示式可能十分複雜,難以直接得到。可以通過Fre´chet 導數來避免顯式獲得F
Fq=N/q|qbqN(qb+ϵq)N(qb)ϵ
將方程離散後,線性方程qt=Fq變為常微分方程
dqdt=Aq
在計算流體力學中,根據求解問題的複雜程度,矩陣A的維數可能是巨大的(與NxNyNz成正比,Nx,Ny,Nz 分別為在x,y,z方向的網格數),顯式獲得儲存A
的每個元素,不僅實現起來難度大,而且及耗記憶體。

待續…