演算法學習之哈夫曼編碼演算法
阿新 • • 發佈：2019-02-02
3、貪心選擇性質
二叉樹T表示字符集C的一個最優字首碼，證明可以對T作適當修改後得到一棵新的二叉樹T”，在T”中x和y是最深葉子且為兄弟，同時T”表示的字首碼也是C的最優字首碼。設b和c是二叉樹T的最深葉子，且為兄弟。設f(b)<=f(c)，f(x)<=f(y)。由於x和y是C中具有最小頻率的兩個字元，有f(x)<=f(b)，f(y)<=f(c)。首先，在樹T中交換葉子b和x的位置得到T'，然後再樹T'中交換葉子c和y的位置，得到樹T''。如圖所示：
由此可知，樹T和T'的字首碼的平均碼長之差為：
因此，T''表示的字首碼也是最優字首碼 ，且x,y具有相同的碼長，同時，僅最優一位編碼不同。
4、最優子結構性質
二叉樹T表示字符集C的一個最優字首碼，x和y是樹T中的兩個葉子且為兄弟，z是它們的父親。若將z當作是具有頻率f(z)=f(x)+f(y)的字元，則樹T’=T-{x,y}表示字符集C’=C-{x, y} ∪ { z}的一個最優字首碼。因此，有：
如果T’不是C’的最優字首碼，假定T”是C’的最優字首碼，那麼有
，顯然T”’是比T更優的字首碼，跟前提矛盾！故T'所表示的C'的字首碼是最優的。
由貪心選擇性質和最優子結構性質可以推出哈夫曼演算法是正確的，即HuffmanTree產生的一棵最優字首編碼樹。
程式執行結果如圖：
