本篇部落格主要講解球盒模型問題中所有情況，因為該問題是組合數學中的最常見的一類問題，所以有必要在這裡詳細地說一說。

該類問題涉及到三個因素，分別是球、盒子、盒子是否可以為空。所以大概可以將該問題分為以下八種情況：

1.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目無限制，有多少種情況？

2.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

3.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

4.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

5.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？

6.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？

7.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？

8.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

總的來說，分為以下8種情況：

下面開始詳細講解：

1.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目無限制，有多少種情況？

方法數目為：F(n,r)=Crn+r−1=(n+r−1)!r!(n−1)!

本質上是多重組合問題，也就是從n個不同的元素中可重複地選取r個不考慮順序的組合數為F(n,r)

2.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

方法數目為：∑ni=0(−1)iCin(n−i)r

可以用容斥原理來解答，設Ai表示盒子i為空的情況，那麼方法數就是|A1⎯⎯⎯⎯∩A2⎯⎯⎯⎯...∩A

n⎯⎯⎯⎯|=nr−C1n(n−1)r+C2n(n−2)r+...+(−1)nCnn(n−n)r

或者可以從第二類Stirling數的角度來思考，方法數為n!S(r,n),結果和上面的一致。

3.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

可以用母函式或者多重組合來解決，方法數為Cr−nr−1=Cn−1r−1

4.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

方法數為第二類Stirling數，S(r,n)=1n!∑ni=0(−1)iCin(n−i)r

這裡說明一下，第二類Stirling數S(r,n)就是將r個元素的集合劃分為n個不相交非空子集的方案數。

5.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？

這種情況最簡單了，方案數目為nr

也就是每次放一個球，都有n种放法。

6.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？

這種情況也是用第二類Stirling數來解決，可以理解為有0個盒子為空，有1個盒子為空，有兩個盒子為空……

方案數目為S(r,1)+S(r,2)+...+S(r,n)

其中，S(r,n)表示劃分成n個子集，也就是沒有一個為空，S(r,n-1)劃分為n-1個子集，也就是有一個盒子為空。

7.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？

方法數目為1(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xr的係數

8.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有一個盒子為空，有多少種情況？

方法數目為xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)的xr的係數

第7、8兩種情況較為複雜，在此不做解釋。