對某個多項式函式，已知有給定的k + 1個取值點：

(x0,y0),…,(xk,yk)$(x_0,y_0),\dots ,(x_k,y_k)$

其中xj$x_j$對應著自變數的位置，而yj$y_j$對應著函式在這個位置的取值。

假設任意兩個不同的xj$x_j$都互不相同，那麼應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為：

L(x):=∑kj=0yjℓj(x)$L(x):=\sum _{j=0}^k{y}_j{\ell }_j(x)$

其中每個ℓj(x)${\ell }_j(x)$為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函式），其表示式為：

ℓj(x):=∏ki=0,i≠jx−xixj−xi=(x−x0)(xj−x0)⋯(x−xj−1)(xj−xj−1)(x−xj+1)(xj−xj+1)⋯(x−xk)

拉格朗日基本多項式ℓj(x)${\ell }_j(x)$的特點是在xj$x_j$上取值為1，在其它的點xi,i≠j$x_i,i\ne j$上取值為0。

程式碼

//1.先呼叫 init（n）初始化 逆元陣列。
//2.估計出答案的最高次數，然後構造一個比最高次數多一項的插基陣列。
//3.然後呼叫polyval求第n項。
typedef long long LL;
const int MOD=1e9+7;
const int N=1020;
LL pod(LL x
 
,LL n)
{
    LL ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)ret=ret*x%MOD;
        n>>=1;
        x=x*x%MOD;
    }
    return ret;
}
namespace Polyval
{
LL fac[N],invv[N],p1[N],p2[N];

void init(int n)
{
    fac[0]=fac[1]=invv[0]=invv[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i
 
%MOD;
    invv[n]=pod(fac[n],MOD-2);
    for(int i=n; i>1; i--)
        invv[i-1]=invv[i]*i%MOD;
}
LL polyval(int d,LL *a,LL n)
{
    if(n<=d)return a[n];
    p1[0]=1;
    p2[d]=1;
    for(LL i=0; i<=d; i++)
        p1[i+1]=p1[i]*(n-i)%MOD;
    for(LL i=d; i>0; i--)
        p2[i-1]=p2[i]*(n-i)%MOD;
    LL ans=0;
    for(int i=0; i<=d; i++)
    {
        LL tem=a[i]*p1[i]%MOD*p2[i]%MOD*invv[i]%MOD*invv[d-i]%MOD;
        cout<<tem<<endl;
        if((d-i)&1)ans=(ans-tem+MOD)%MOD;
        else ans=(ans+tem)%MOD;
    }
    ans=(ans+MOD)%MOD;
    return ans;
}
}
LL b[N],a[N];
//求k次方的前n項和
int main()
{
    int n,k;
    Polyval::init(1010);
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        b[0]=0;
        for(LL i=1;i<=k+1;i++)  //和最高為k+1項
        {
            b[i]=(pod(i,k)+b[i-1])%MOD; //構造和的k+2個點
        }
        printf("%lld\n",Polyval::polyval(k+1,b,n));
    }
}

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