最近想用C語言寫一個產生服從指數分佈的隨機數的程式。從網上找了找，發現可以通過均勻分佈來產生服從任意分佈的隨機數。然而，網上的推導不是很完善，我把自己的理解寫在這裡，有不嚴謹的地方請大家指正。

命題1：對一連續型隨機變數X，設它的分佈函式為F(x) = P { X ≤ x }。對X的某一取值x，對應於一個F(x)，因此F(x)也是一個隨機變數，記為Y=F(x)。則Y服從[ 0,1 ]上的均勻分佈。

證1：Y的取值範圍是[ 0,1 ]，Y的概率密度函式記為f(y)。以下二式成立：

可得f(y)=1，即Y服從[ 0,1 ]上的均勻分佈。

命題2：對隨機變數X，已知它的分佈函式是F(x)；有另一隨機變數Y=f1(X)，f1是嚴格單調增函式；我們可以得到Y的分佈函式G(y)。反過來，若已知Y的分佈函式是G(y)，X=f2(Y)，f2是f1的反函式，則我們可以得到X的分佈函式是F(x)。

證2：G(y) = P{ Y ≤ y } = P{ f1(X) ≤ y } = P{ X ≤ f2(y) } = F[ f2(y) ]

          F(x) = P{ X ≤ x } = P{ f2(Y) ≤ x } = P{ Y ≤ f1(x) } = G[ f1(x) ] = F{ f2[ f1(y) ] } = F(x)

結論：如果要產生一個隨機變數的一個觀測值，且該隨機變數的分佈函式F(x)嚴格單調遞增，可以這樣做：

先產生一個服從[ 0,1 ]上均勻分佈的隨機數，也就得到一個F(x)的值，通過F(x)的反函式G(x)得到x=G(y)，這個x就是服從我們想要的那個分佈的一個隨機值。

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現在才知道上述取樣方法稱為反變換取樣。

Wiki百科上有更好的證明方法。