群作為代數結構首先是一個集合，那麽元素間可能有各種等價關系，這些等價關系給出了群的劃分，也使群自身結構的特異性突出。

一、 陪集

　　定義　　設$H$是$G$的一個子群，$a\in G$，作集合$aH=\{ax|x\in H\}$，稱$aH$是關於子群$H$的一個左陪集。類似地，可定義右陪集$Ha=\{xa|x\in H\}$.

　　對於陪集，我們有如下性質:

　　(i) $aH$中元素個數與$H$一樣。（重新排列定理）

　　(ii) $H$本身也是$H$的一個陪集($eH$, $He$).

　　(iii) $a$在陪集$aH$中，稱$a$為陪集$aH$的一個代表。

　　(iV) 設$b\in aH$，則有$aH=bH$. 即$aH$中任一元素，均可作$aH$的一個代表。

　　(V) 由此可以定義等價關系 $a,b\in G$，若$a^{-1}b\in H$, 則$a\sim b$. 此等價關系給出$G$的一個劃分

　　　　$$G=a_1H\cup a_2H\cup...\cup a_l H$$.

　　下面重點證明(iV)和(V)。

　　證明:　(iV)　有$b=ah,\, h\in H$。則對$\forall h_i\in H$，有$ah_i=b(h^{-1}h_i)$. 即$aH\subset bH$.

　　　　　　　　同理，$bh_i=a(hh_i)\in aH$，即$bH\subset aH$. 故$aH=bH$.

　　　　　 (V)　自反: $a^{-1}a=e\in H\quad\Rightarrow a\sim a$.

　　　　　　　 對稱: $a\sim b\quad\Rightarrow a^{-1}b\in H\quad\Rightarrow (a^{-1}b)^{-1}=b^{-1}a\in H\quad\Rightarrow b\sim a$.

　　　　　　　 傳遞: $a\sim b, b\sim c\quad\Rightarrow a^{-1}b,\,b^{-1}c\in H\quad\Rightarrow(a^{-1}b)(b^{-1}c)=a^{-1}c\in H\quad\Rightarrow a\sim c$.

　　定義　　群$G$中子群$H$的相異陪集個數稱為$H$在$G$中的指數

　　定理2.3(Lagrange定理)　　$n$階群$G$的子群$H$的階$m$是$n$的一個因數。即$n=(G:H)m$.

下面我們來看看群中的其他等價關系。

二、 共軛

　　定義　　設$a,b\in G$，若$g\in G$，使得$a=gbg^{-1}$，則稱$a$是$b$的共軛元素，$a$與$b$有共軛關系。$b$得到$a$的運算為$b$在$g$下的相似變換。

　　下面我們來看共軛關系也是一種等價關系。

　　(i) 自反　　令$g=e$.

　　(ii) 對稱　　如果$a\sim b$, 那麽$a=gbg^{-1}$. 同時，$b=hah^{-1}$，$h=g^{-1}$。那麽$b\sim a$.

　　(iii) 傳遞　　如果$a\sim b,\, b\sim c$，那麽$a=gbg^{-1},\,b=hch^{-1}$. 則$a=(gh)c(gh)^{-1}$, 即$a\sim c$.

　　由此，共軛關系是一種等價關系。群$G$可按共軛關系分割成一些等價類$A_a=\{gag^{-1}|\forall g\in G\}$.

　　稱$A_a$為群$G$的元素$a$的共軛類，簡稱為群的$a$類。

　　特別地，$\{e\}$自成一類，以及任意Abel群的各元素自成一類。

　　在$SO(3)$群中，所有繞不同轉軸方向，轉過同一個$\theta$角的轉動全體構成一個類$R(\theta)$. 即$SO(3)$可按共軛類$R(\theta)$分解

　　$$SO(3)=\cup_\theta R(\theta),\,0\leq \theta<2\pi.$$

　　另外由子群判定定理($a^{-1}b\in H$)，可知$gHg^{-1}$也是$G$的一個子群。子群$H$與子群$gHg^{-1}$稱為互相共軛的。

下面我們介紹最後一種等價關系。

三、 正規子群與商群

　　由陪集分解結果，我們可以得到商集合$G/H=\{H,a_2H,a_3H,...\}$. 那麽現在的問題是，什麽條件下商集合構成一個群--商群?

　　我們知道，對於一個群，首先要定義乘法運算，由於代表元的存在，乘法可以如下定義：

　　$$a_iH\circ a_jH=(a_i\circ a_j)H$$.

　　由於這個定義將陪集的乘法轉換成代表元的乘法，我們應當證明乘法的結果與代表元的選取無關。

　　如果我們選取代表元$a_ih_i$,$a_jh_j$，那麽

　　$$a_ih_i H\circ a_jh_j H=(a_ih_ia_jh_j)H$$.

　　但現在的問題是$(a_ih_ia_jh_j)H$不一定等於$(a_ia_j)H$，所以這個乘法對一般的群來講並不是良定義的。我們需要找到一類特殊的群，使此乘法良定義。這類群就是正規子群。

　　定義　　若子群$H\subset G$的所有左陪集和右陪集相等，即$a_iH=Ha_i,\,\forall a_i\in G$. 則稱$H$是$G$的一個正規子群或不變子群。

　　註：此定義下，正規子群並不意味著乘法在群中對易。正確的理解應當是$\forall a_i\in G, h_i\in H$，總能找到$h_j\in H$，使得$a_ih_i=h_ja_i$. 但反之，Abel群的所有子群自然為正規子群。

　　定理2.4　　如果以$G$的正規子群$H$的陪集全體為集合，那麽$G/H$構成群，稱為$G$關於正規子群$H$的商群。此群的乘法就是如上所定義的代表元乘法，即$a_iH\circ a_jH=(a_i\circ a_j)H$。

　　證明： 首先證明乘法是良定義的。因為正規子群，所以有$h_ia_j=a_jh_k$, $(a_ih_ia_jh_j)H=(a_ia_jh_kh_j)H=(a_ia_j)H$.

　　　　　下面證明四條公理:

　　　　　(i) 封閉性　由於商群已包含所有陪集且乘法結果仍然是陪集，故封閉。

　　　　　(ii) 結合　　$(a_iHa_jH)a_kH=(a_ia_ja_k)H=a_iH(a_jHa_kH)$.

　　　　　(iii) 單位元　　單位元就是陪集$eH=H$.

　　　　　(iV) 逆元　　對$aH\in G/H$, 逆元是$a^{-1}H$.

　　$O(3)$在矩陣乘法下構成群，$SO(3)$是$O(3)$子群，且有陪集分解$O(3)=SO(3)\cup(-E3)SO(3)$. $SO(3)$是正規子群，因此有商群$O(3)/SO(3)=\{E3,-E3\}$.

　　定義　　如果群$G$除了$\{e\}$和$G$以外不存在其他的正規子群，則稱$G$為單群。如果$G$除了$\{e\}$外不存在其他的Abel正規子群，稱$G$為半單群。

第二章 2.群中的等價關系 -- 陪集，共軛，正規子群與商群