今天看了一會《離散數學及其應用》的第一章後面的上機題的第一道題。

求n！的位數在100到100之間的最大的n。

      要解決這個問題，首先就來研究一下階乘的性質。

      查一下wiki百科，就會發現關於階乘有個斯特林公式：    （有興趣戳這裡），那麼我們就可以很快的求出n的階乘。但是我們不需要求出n的階乘，只需要知道它有多少位。所以現在就要知道怎樣求一個數有多少位了。答案就是log(n)+1。下面是簡單證明：

      設一個數為n，它有w位，則它可表示為n=c+10^(w-1)，其中c<10。所以w=log（n）+1。

      所以有斯特林公式，就可以很快的求出n的階乘有多少位了。

      因此，解決上面的問題求n！的位數在100到100之間的最大的n，就只需要簡單的列舉下就可以了。

    既然在看階乘，就一下把相關的題目做一做吧。

     將n！展開：n!=1*2*3*4*5······*n。要想知道末尾有多少零，只需知道有多少個2和5相乘就可以了。又因為在n！中5比2少很多，只需要知道有多少個5既可以了，即在n！中，因子5出現了多少次。關於這個問題，《具體數學》中有所提及。

     給定一個素數p，在｛1，2，3，···n｝中，它的倍數有ceil(n/p)個。

            則p的平方， 在｛1，2，3，···n｝中，它的倍數有ceil(n/p^2)個。

    依次類推，就知道在｛1，2，3，···n｝中，素數p一共出現了多少次。