歸並排序比較適合大規模得數據排序，借鑒了分治思想。

歸並排序原理

自古以來，分久必合合久必分。

我們可以這樣理解歸並排序，分-分到不能分為止，然後合並。

使用遞歸將問題一點一點分解，最後進行合並。

分而治之 （merge_sort）

提到遞推，我們使用地遞推解決問題，首先要分析出遞推公式、明確結束條件。

遞推公式：

merge_sort(i...n)=merge( merge_sort(i...j), merge_sort(j+1...n) )

結束條件：
i>=n

分久必合（merge）

將兩個有序的數組進行合並，這樣整個數組也就是排序好的數組了。

那麽怎麽進行合並呢？-- (i...j) 和 (j+1...n) 重新排序後，重新放入原來的數組 (i...n)

兩組數組 [3, 8, 9, 11] vs [1, 2, 5, 7]

兩個遊標 藍色 和 紅色

3>1，1小，1入新數組，紅色遊標後移一位，繼續比較...

3>2，2小，2入數組，紅色遊標後移一位

3<5，3小，3入數組，藍色遊標後移一位

8>5，5小，5入數組，紅色遊標後移一位

8>7，7小，7入數組，紅色遊標後移，右側數組全部轉移完畢

當有一組數組全部轉移完畢，那麽剩下的一組中的全部元素依次轉入到新數組中，新數組正式成為一個有順序的數組

通過以上兩點：遞推公式和合並思想，我們使用代碼實現一下：

1、如下圖：遞歸方式 進行分解，然後使用合並代碼進行合並。

 1          /// <summary>
 2         /// 遞歸調用
 3         /// </summary>
 4         /// <param name="a">原始數組</param>
 5         /// <param name="p">分割點</param>
 6         /// <param name="r">結束位置</param>
 

 7         public static void MergrSortInternally(int[] a, int p, int r)
 8         {
 9             //結束條件
10             if (p >= r)
11                 return;
12 
13             //切割點
14             int q = p + (r - p) / 2;
15 
16             //分而治之
17             MergrSortInternally(a, p, q);
18 
19             MergrSortInternally(a, q + 1, r);
20 
21             //合並  A(a, p, q) 和  A(a, q + 1, r)          
22             Merage(a, p, q, r);
23 
24         }

2、我們再來看看合並邏輯

參數：原始數組，開始的地方，切割的地方，結束的地方

邏輯：兩個切割數組的各自的遊標

申請同樣大小的臨時數組

　　　　 循環比較；小的入臨時，遊標後移；知道有一個數組空了為止

找到剩下不為空的那個數組，將剩余元素入臨時

將臨時數組，找到原始數組的對應為止進行覆蓋

 1 /// <summary>
 2         /// 合並
 3         /// </summary>
 4         /// <param name="a">原始數組</param>
 5         /// <param name="p">起始點</param>
 6         /// <param name="q">切割點</param>
 7         /// <param name="r">結束點</param>
 8         public static void Merage(int[] a, int p, int q, int r)
 9         {
10             // i 和 j = 兩個數組的遊標
11             int i = p;
12             int j = q + 1;
13             
14             // 臨時數組的遊標
15             int k = 0;
16 
17             // 臨時數組
18             int[] temp = new int[r - p + 1];
19 
20             //最小入隊，直到其中一個空空如也為止
21             while (i <= q && j <= r)
22             {
23                 if (a[i] <= a[j])
24                 {
25                     temp[k] = a[i];
26                     ++k;
27                     ++i;
28                 }
29                 else
30                 {
31                     temp[k] = a[j];
32                     ++k;
33                     ++j;
34                 }
35             }
36 
37             // 找到另一個不為空的，找到剩下的元素
38             int start = i;
39             int end = q;
40 
41             if (j <= r)
42             {
43                 start = j;
44                 end = r;
45             }
46 
47             // 剩余數組拷貝到臨時數組 temp
48             while (start <= end)
49             {
50                 temp[k++] = a[start++];
51             }
52 
53             // 將temp覆蓋到a[p...r]
54             for (i = 0; i <= r - p; ++i)
55             {
56                 a[p + i] = temp[i];
57             }
58         }

歸並排序性能分析

Q：是不是穩定排序？

A：是

對於這兩組數組 A[p...q] 和 A[q+1...r] 來說

代碼中也是這樣實現的，a[i]就是左側數組，a[j]就是右側數組，保證相等時左側優先入隊即可。註意 等號位置。

Q：是否是原地排序？

A：當然不是

因為我們在合並代碼時候，申請了同樣大小的內存空間。

但是對於這裏的歸並排序的空間復雜度又是多少呢？

雖然牽扯到了遞歸，但是臨時變量這裏會在一個函數結束後棧會釋放，所以空間復雜度是O(n)

Q：時間復雜度又是多少呢？

A：O(n log n)

我們對 n 個元素的歸並排序時間記作 T(n)，

分解函數分解兩個子數組的時間是T(n/2)

合並函數時間復雜度是O(n)

T（1）=C; n=1

T（n）=2*T（n/2）+ n; n>1

T(n) = 2*T(n/2) + n
= 2*(2*T(n/4) + n/2) + n = 4*T(n/4) + 2*n
= 4*(2*T(n/8) + n/4) + 2*n = 8*T(n/8) + 3*n
= 8*(2*T(n/16) + n/8) + 3*n = 16*T(n/16) + 4*n
　　 ......
　　 = 2^k * T(n/2^k) + k * n

T(n) = 2^k * T(n/2^k) + k * n

當 T(n/2^k) = T（1）=> k = log2 n

即：T(n) = Cn + n log2 n => O(n log n)

經典排序算法 — C#版本（中）