微積分最引人注目的應用就是尋找函式的最大或最小值或者需要用到最大和最小值。

日常生活充滿了這樣的問題，數學家和其他人覺得它們很有趣也非常重要。一個商人旨在使利潤最大化和成本最小化。工程師設計的新汽車希望其效率最大化。航空公司飛行員希望減少飛行時間和燃料消耗。在科學中，我們經常發現自然以某種方式在最大化或最小化某一量。例如，一縷光線穿過透鏡，總是沿著時間最短的那條路徑。掛鏈最終的形狀其重力勢能最小。

每當我們使用"最大最小”最多"至少”“最好的”等等這類字眼時，它是一個合理的猜測，某些最大或最小問題只限於某個範圍內。如果這個問題可以用變數和函式來表示(並非所有情況都是如此)，那麼微積分的方法將幫助我們理解並解決它。

這裡許多例子和問題都是用幾何的想法來解決，因為最大和最小值在幾何中表示特別生動。

我們與一個相當簡單有關數的例項開始。

例1：找出兩個正數，他們的和為16，乘積儘可能大。

解：如果x,y是兩個變數，他們的和為16

x+y=16(1)
那麼我們需要找的就是特定的x,y，並最大化他們的乘積
P=xy(2)
我們的難點在於P依賴於兩個變數，而我們的求導只對單個自變數函式有效。等式(1)可以解決這個難點。我們可以用x 來表示y，y=16−x，這樣P就能只用x表示
P=x(16−x)=16x−x2(3)
圖1我們給出了(3)的大致影象。它的目的是對函式已知事實x=0,16,P=0;0<

x<16,P>0給出視覺化，最高點根據條件dP/dx=0得出，因為這個條件意味著切線是水平的。對(3)求導
dPdx=16−2x
我們令導數等於零
d2Pdx2=−2


圖1

回憶一下，負的二階導意味著曲線是凸的，因為存在最大值。在給定的限定條件下，如果讓P儘可能小，那麼將沒有解，因為x,y必須是正數意味著x必須屬於開區間0<x<16，從影象中可以看出這部分不存在最小點。

例2：一個矩形花園的面積為450ft2，現在打算圍上籬笆防止兔子進入。如果一邊已經有一堵牆，那麼哪種尺寸可以讓籬笆的長度最短？

圖2

解：我們先畫一幅圖(圖2)，介紹一些符號，來方便我們處理問題。如果L

表示籬笆的長度，我們需要最小化

L=2x+y(4)
限制條件為
xy=450(5)
利用(5)式，L可以單獨用x表示
L=2x+450x(6)
快速的畫個草圖(圖3)幫助我們視覺化函式並看出它的性質，尤其是它存在最小值，沒有最大值(我們只對正的x感興趣)。下一步就是對(6)求導
dLdx=2−450x2
然後讓它等於零
2−450x2=0,x2=225,x=15.


圖3

(我們忽略了根x=−15)帶入(5)，對應的y值為y=30，所以最短的花園尺寸為15,30，或者長是寬的兩倍。

例3：找出使矩陣面積最大的尺寸，面積可以用半徑為a的半圓來描述。

解：我們選取圓x2+y2=a2的上半部分(圖4左)，那麼我們需要最大化

A=2xy(7)
限制條件為
x2+y2=a2(8)
由(8)可得y=a2−x2−−−−−−√=(a2−x2)1/2，(7)就變為

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