【NOIP】一篇正式的NOIP2017總結

【注：程式碼全部放在最後連結】

Day1

T1 小凱的疑惑

【題目描述】

小凱手中有兩種面值的金幣，兩種面值均為正整數且彼此互素。每種金幣小凱都有無數個。在不找零的情況下，僅憑這兩種金幣，有些物品他是無法準確支付的。現在小凱想知道在無法準確支付的物品中，最貴的價值是多少金幣？注意：輸入資料保證存在小凱無法準確支付的商品。

【輸入格式】
輸入資料僅一行，包含兩個正整數 aa 和 bb，它們之間用一個空格隔開，表示小凱手中金幣的面值。

【輸出格式】
輸出檔案僅一行，一個正整數 NN，表示不找零的情況下，小凱用手中的金幣不能準確支付的最貴的物品的價值。

輸入樣例#1：
3 7
輸出樣例#1：
11

【輸入輸出樣例 1 說明】

小凱手中有面值為3和7的金幣無數個，在不找零的前提下無法準確支付價值為1、 2、4、5、8、11 的物品，其中最貴的物品價值為 11，比 11 貴的物品都能買到，比如：

12=3×4+7×0
13=3×2+7×1
14=3×0+7×2
15=3×5+7×0

【資料範圍與約定】
對於 30%的資料：1≤a,b≤501≤a,b≤50。
對於 60%的資料： 1≤a,b≤1041≤a,b≤104
對於 100%的資料：1≤a,b≤1091≤a,b≤109

【題目分析】
作為NOIP DAY1T1，個人認為題目不算太好。這樣的規律性題目對於水平不高的選手來說是很吃虧的，對於超暴力打表選手反而是賺到了。
考試的時候立刻想到了擴充套件GCD，然後就推了三張紙，耗時1.5h，直接導致後面沒時間做。這樣做明顯是不理智的，其實在0.5h過後就應該嘗試尋找規律，雖然最後推出來了，但對於T2T3的影響顯然更大。下一次要轉變做題思路。

【解題思路】
在碼T2時想到了簡單的證明。以下是證明：

首先
gcd(A,B)=1→lcm(A,B)=AB
定義【剩餘類】：把所有整數劃分成m個等價類，每個等價類由相互同餘的整陣列成

任何數分成m個剩餘類，分別為 mk，mk+1，mk+2，……，mk+(m−1)
分別記為0(modm)，1(modm)……

而n的倍數肯定分佈在這m個剩餘類中，並且是平均分配。

設 kmin=min{k|nk∈{i(modm))},i∈[0,m)
則 nkmin 是 {i(modm)}中n的最小倍數。特別的，nm∈{0(modm)}
nkmin是個標誌，它表明{i(modm)}中nkmin 後面所有數，即n

kmin+jm必定都能被組合出來

那也說明最大不能組合數必定小於nkmin
我們開始尋找max{ nkmin}
lcm(m,n)=mn，所以很明顯(m−1)n是最大的
因為(m−1)n是nkmin 中的最大值，所以在剩下的m−1個剩餘類中，必定有比它小並且能被m和n組合，
這些數就是(m−1)n−1，(m−1)n−2，……，(m−1)n−(m−1)
所以最大不能被組合數就是(m−1)n−m

如果m和n不互素，那{1 (mod m)}不能被m組合，同樣也不能被n和m組合

不要問我為什麼我程式寫的式子這麼奇怪。

T2 小凱的疑惑

題目描述

小明正在學習一種新的程式語言 A++，剛學會迴圈語句的他激動地寫了好多程式並給出了他自己算出的時間複雜度，可他的程式設計老師實在不想一個一個檢查小明的程式，於是你的機會來啦！下面請你編寫程式來判斷小明對他的每個程式給出的時間複雜度是否正確。

A++語言的迴圈結構如下：

F i x y
迴圈體
E

其中F i x y表示新建變數 ii（變數 ii 不可與未被銷燬的變數重名）並初始化為 xx，然後判斷 ii 和 yy 的大小關係，若 ii 小於等於 yy 則進入迴圈，否則不進入。每次迴圈結束後 ii 都會被修改成 i +1i+1，一旦 ii 大於 yy 終止迴圈。

xx 和 yy 可以是正整數（xx 和 yy 的大小關係不定）或變數 nn。nn 是一個表示資料規模的變數，在時間複雜度計算中需保留該變數而不能將其視為常數，該數遠大於 100。

“E”表示迴圈體結束。迴圈體結束時，這個迴圈體新建的變數也被銷燬。

注：本題中為了書寫方便，在描述複雜度時，使用大寫英文字母“O”表示通常意義下“Θ”的概念。

輸入格式：
輸入檔案第一行一個正整數 tt，表示有 tt（t≤10t≤10）個程式需要計算時間複雜度。每個程式我們只需抽取其中 F i x y和E即可計算時間複雜度。注意：迴圈結構允許巢狀。

接下來每個程式的第一行包含一個正整數 LL 和一個字串，LL 代表程式行數，字元串表示這個程式的複雜度，O(1)表示常數複雜度，O(n^w)表示複雜度為nw
，其中w是一個小於100的正整數（輸入中不包含引號），輸入保證複雜度只有O(1)和O(n^w) 兩種型別。

接下來 LL 行代表程式中迴圈結構中的F i x y或者 E。程式行若以F開頭，表示進入一個迴圈，之後有空格分離的三個字元（串）i x y，其中 ii 是一個小寫字母（保證不為nn），表示新建的變數名，xx 和 yy 可能是正整數或 nn ，已知若為正整數則一定小於 100。

程式行若以E開頭，則表示迴圈體結束。

輸出格式：
輸出檔案共 tt 行，對應輸入的 tt 個程式，每行輸出Yes或No或者ERR（輸出中不包含引號），若程式實際複雜度與輸入給出的複雜度一致則輸出Yes，不一致則輸出No，若程式有語法錯誤（其中語法錯誤只有: ① F 和 E 不匹配 ②新建的變數與已經存在但未被銷燬的變數重複兩種情況），則輸出ERR 。

注意：即使在程式不會執行的迴圈體中出現了語法錯誤也會編譯錯誤，要輸出 ERR。

【輸入樣例】
8
2 O(1)
F i 1 1
E
2 O(n^1)
F x 1 n
E
1 O(1)
F x 1 n
4 O(n^2)
F x 5 n
F y 10 n
E
E
4 O(n^2)
F x 9 n
E
F y 2 n
E
4 O(n^1)
F x 9 n
F y n 4
E
E
4 O(1)
F y n 4
F x 9 n
E
E
4 O(n^2)
F x 1 n
F x 1 10
E

【輸出樣例】
Yes
Yes
ERR
Yes
No
Yes
Yes
ERR

【題目分析】
一道大模擬題目，考試的時候做的還是很快的，只用了15min，debug10min，但是由於我的判斷先後順序錯了，掛了一個點，很驚奇。

【解題思路】
按題目模擬即可，注意幾個判斷的先後順序。

T3逛公園

【題目描述】

策策同學特別喜歡逛公園。公園可以看成一張N個點M條邊構成的有向圖，且沒有自環和重邊。其中1號點是公園的入口，NN號點是公園的出口，每條邊有一個非負權值，代表策策經過這條邊所要花的時間。

策策每天都會去逛公園，他總是從1號點進去，從N號點出來。

策策喜歡新鮮的事物，它不希望有兩天逛公園的路線完全一樣，同時策策還是一個特別熱愛學習的好孩子，它不希望每天在逛公園這件事上花費太多的時間。如果1號點到N號點的最短路長為d，那麼策策只會喜歡長度不超過d+K的路線。

策策同學想知道總共有多少條滿足條件的路線，你能幫幫它嗎？

為避免輸出過大，答案對P取模。

如果有無窮多條合法的路線，請輸出−1。

【輸入格式】
第一行包含一個整數 T, 代表資料組數。

接下來T組資料，對於每組資料：第一行包含四個整數 N,M,K,P，每兩個整數之間用一個空格隔開。

接下來M行，每行三個整數ai,bi,ci，代表編號為ai,

【NOIP】一篇正式的NOIP2017總結

Day1

T1 小凱的疑惑

T2 小凱的疑惑

T3逛公園

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