求陣列的子陣列之和的最大值
1.問題描述
一個有N個整數元素的一維陣列( A[0], A[1], … , A[n-2], A[n-1]),子陣列之和的最大值是什麼?(要求子陣列的元素是連續的)
在這裡要注意,是陣列的子陣列而不是集合的子集
例子:有陣列( -2, 5, 3, -6, 4, -8, 6),則其子陣列之和的最大值為8,其對應的陣列為(5,3)
2.分析與解法
解法一:採用直接法,記Sum[i…j],為陣列A中從第i到第j之間所有數之和,算出所有Sum,取其最大,程式碼如下,時間複雜度O(N2):
複製程式碼
int maxSum1(int *A, int n)
{
int max = -1 ;
int i, j, sum;
for(i = 0; i < n; i++)
{
sum = 0;
for(j = i; j < n; j++)
{
sum += A[j];
if(sum > max )
max = sum;
}
}
return max;
}
複製程式碼
解法二:使用分治法,陣列(A[0],A[1],…A(n-1)分為長度相等的兩段陣列(A[0],…,A[n/2-1])以及(A[n/2],…,A[n-1]),分別求出這兩段陣列各自的最大子段和,則原陣列(A[0],A[1],…A(n-1)的最大子段和分為3種情況
1).(A[0],A[1],…A(n-1)的最大子段和與(A[0],…,A[n/2-1])的相同
2).(A[0],A[1],…A(n-1)的最大子段和與(A[n/2],…,A[n-1])的相同
3).(A[0],A[1],…A(n-1)的最大子段和跨過(A[0],…,A[n/2-1])與(A[n/2],…,A[n-1])-
1)和2)可以根據遞迴可得,3)只要計算出以A[n/2-1]為結尾的一段陣列最大和s1=Sum1[i…n/2-1]和A[n/2]為開頭一段陣列最大和s2=Sum2[n/2…j],最後s=s1+s2.
這個演算法滿足分值演算法遞迴,總的時間複雜度O(N*log2N)
解法三:假設我們已經知道(A[k]…..A[n-1])最大的一段陣列和為All[k],並且已經計算出在(A[k]…..A[n-1])中包含A[k]的最大的一段陣列和為Start[k],那麼可以推斷出All[k-1]=max{A[k-1],A[k-1]+Start[k],All[k]},利用動態規劃思想以及這樣的遞推公式,從後往前計算,程式碼如下,時間複雜度O(N):
int max(int x, int y)
{
return (x > y) ? x : y;
}
int maxSum2(int *A, int n)
{
int i;
int All[n], Start[n];
All[n-1] = A[n-1];
Start[n-1] = A[n-1];
for(i = n-2; i >= 0; i--)
{
Start[i] = max(A[i], A[i]+Start[i+1]);
All[i] = max(All[i+1], Start[i]);
}
return All[0];
}
對以上程式碼進行簡化,因為最後所求到的變數只有Start[0]和All[0],這樣可以反覆用nStart和nAll,省略掉其他的變數,程式碼如下:
int max(int x, int y)
{
return (x > y) ? x : y;
}
int maxSum2_v(int *A, int n)
{
int i;
int nAll, nStart;
nAll = A[n-1];
nStart = A[n-1];
for(i = n-2; i >= 0; i--)
{
nStart = max(A[i], A[i]+nStart);
nAll = max(nAll, nStart);
}
return nAll;
}
注:以上的計算順序也可以從前往後,即:All[k+1]=max{A[k+1],A[k+1]+Start[k],All[k]}.