poj 1091 跳蚤(n元一次不定方程+斥容原理)
阿新 • • 發佈:2019-02-03
題意:
給一張卡片,上面寫著N + 1個自然數,其中最後一個數是M,並且前N個數不超過M,並允許數字相同。
一隻跳蚤每次可以選擇從卡片上任意選擇一個自然數S,向左或向右跳S個單位長度。
求最後能跳到左邊1個單位長度的N + 1元組個數是多少。
解析:
設卡片上的標號是a1,a2,a3,a4,...,an,M,跳蚤跳對應標號的次數為x1,x2,x3,x4,...,xn,x(n + 1)。
那麼由題意可列出方程:a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4 +... + an*xn + M*x(n + 1) = 1.
這個n+1元一次方程有解的充要條件是(a1,a2,a3,a4,...,an,M) = 1.
由於正面比較難剛,所以反面考慮,即所有的情況-各個數的gcd不為1的情況。
從M入手,若各個數最大公約數不為1,則各個數必存在一個或多個M的約數。
因此先將M的約數Pi分出來,然後應用斥容原理:
公約數不為1的數列個數 T = t(1) - t(2) + t(3) - t(4) + ...
其中t(n)代表數列中的數同時能被幾個M的約數所約,比如t(2),是所有Pi中取2搭配,最後累加(M / (Pi × Pj))^ n.
(M / (Pi × Pj))^ n. 這個式子的解釋是所有數小於M,除掉倆公約數就是剩下的數的最大值,因為可以重複取,這個數的^n就是不同數列的個數。
最後加加減減就是總的個數了。
程式碼:
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #include <stack> #include <vector> #include <queue> #include <map> #include <climits> #include <cassert> #define LL long long using namespace std; const int inf = 0x3f3f3f3f; const double eps = 1e-8; const double pi = 4 * atan(1.0); const double ee = exp(1.0); const int maxn = 64; LL n, m; LL mCdNum; LL mCd[maxn]; LL tCd[maxn]; LL resAns; void Divide(LL x) { LL tempM = m; mCdNum = 0; for (LL i = 2; i * i <= tempM; i++) { if (tempM % i == 0) { while (tempM % i == 0) { tempM /= i; } mCd[++mCdNum] = i; } } if (tempM != 1) { mCd[++mCdNum] = tempM; } } LL myPow(LL a, LL x) { if (x == 0) return 1; LL r = myPow(a, x >> 1); LL res = r * r; if (x % 2) res = res * a; return res; } void Dfs(LL pos, LL deep, LL num) { if (deep == num) { LL tempM = m; for (LL i = 1; i <= num; i++) tempM /= tCd[i]; resAns += myPow(tempM, n); } else { for (LL i = pos + 1; i <= mCdNum; i++) { tCd[deep + 1] = mCd[i]; Dfs(i, deep + 1, num); } } } int main() { #ifdef LOCAL freopen("in.txt", "r", stdin); #endif // LOCAL while (scanf("%lld%lld", &n, &m) == 2) { Divide(m); LL ans = 0; for (LL i = 1; i <= mCdNum; i++) { resAns = 0; Dfs(0, 0, i); if (i % 2) ans += resAns; else ans -= resAns; } ans = myPow(m, n) - ans; printf("%lld\n", ans); } return 0; }