揹包問題是動態規劃的經典問題，可以分為多個子結構，如，

只使用第1個物品在揹包容量為1的情況下揹包所能裝的最大價值：為V[1][1]

只使用第1個物品在揹包容量為2的情況下揹包所能裝的最大價值：為V[1][2]

只使用第1個物品在揹包容量為j的情況下揹包所能裝的最大價值：為V[1][j]

只使用第1,2個物品在揹包容量為j的情況下揹包所能裝的最大價值：為V[2][j]

只使用第1，2,3...i 個物品在揹包容量為j的情況下揹包所能裝的最大價值：為V[i][j]

當使用第 1,2,3,i-1個物品在揹包剩餘容量為j的情況下，在選第i個物品的時候，如果第i個物品重量大於揹包容量，則第i個物品不能放進去 V[i][j] = V[i-1][j]；

否則的話，就可以選擇放進去或者不放進去，就要看哪種價值最大 V[i][j] = max(V[i-1][j], V[i-1][j - weight[i]] + value[i]) 

程式碼如下：

#define M 8 //揹包容量
#define N 6	// 物品個數
#define max(x,y) x > y ? x : y	//定義比大小的巨集
int V[N + 1][M + 1] = {0};	//定義一個二維陣列儲存所有狀態的揹包對應價值，因為V[0][]和V[][0]都必須初始為0所以下標0不能作為有效資料，要多設定一個下標資料
int weight[N+1] ={0,1,2,3,4,5,6};	//同上weight[]和value[]的0下標位都初始化為0，不放資料，這個不是必須的，但是方便理解
int value[N+1] = {0,2,3,4,5,6,7};
void package01()
{
	for(int i = 1; i <= N; i++)		//i對應第i個物品，i的迴圈放外面，這個是關鍵點，一行一行的寫入資料。因為V[i][]對應資料是由V[i-1][]決定的，因此上一行資料的完整才能保證下一行資料完整
	{
		for(int j = 1; j <= M; j++)	//j對應當前揹包能承受重量為j
		{
			if(j >= weight[i])	
			{
				V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
			}
			else
			{
				V[i][j] = V[i - 1][j];
			}
		}
	}
}
 

其實陣列每次寫入一行資料都是根據上一行的資料進行寫入，不需要用二維陣列，可以用一維陣列，每次根據自身進行更新即可，重點是[i-1][j - weight[i]]這個資料的意思是我要在表中上一行找比j小的資料，那換成一維的話，我找的是自身（只有一行，沒有上一行）j左邊的資料，這個資料必須保證是上一次（i-1）寫入的，肯定不能從左向右寫入資料，那樣的話[i-1][j - weight[i]] 對應的就是這一次（i）寫入的，上一次資料沒有利用就丟失了,所以j迴圈應該從M到1，從右向左向一維陣列寫入資料。

程式碼如下；

void package01EX()
{
	for(int i = 1; i <= N; i++)
	{
		for (int j = M; j >= 1; j--)
		{
			if (j >= weight[i])
			{
				V[j] = max(V[j], V[j - weight[i]] + value[i]);
			}
		}
	}
}
 

其實剛開始還碰到一個頭疼的問題，選擇第i個物品，到底是放還是不放的時候，總覺得放了才好，覺得前面的選項都確定了，錯就錯在前面的選項並沒有確定，可以親自填一下表，就是根據那個二維陣列來填表，先初始化為0，動手填了一遍就發現其實當選第i個物品的時候，前面的各個物品選擇根本沒有確定，二維陣列已經列出了前面可選擇有的可能性比如試探性的選擇，放第i個物品，好那麼j減去weight[i],i減去1，看看上一行資料其實是偏左方對應的那個V是多少，然後加上value[i]對應的就是放這個物品對應的價值，如果不放呢？那就直接等於它頭上的那個V了，也就是V[i-1][j]，就意味著不放，我的最後一步是從V[i-1][j]過渡來的，放，就是從頭上偏左的那一步過渡來的，然後前面的那兩步路又是從他們的前面過渡來的，一步一步填表得到的，因此放和不放對應的前面的選擇是不一樣的，不是一條路下來的，放了容量就減少了，往上一行找資料向左找，不放就直接頭上找，左邊的容積肯定比右邊小，那麼代價就是上一行左邊的資料很有可能比右邊的資料小，不可能比右邊大，如果這個小點的資料加上第i個物品價值比頭上的資料大，那麼就意味著，放進去價值大，否則相反。也就是說我現在這一步第i個物品放與不放，就決定著上一步的容積有多少，反正容積多少的都列出來了，自己找就好了，而上一步的資訊又給我提供了參考，可以分析出放與不放哪個價值大，所謂是相互關聯缺一不可。