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卷積公式的理解，卷積其實就是疊加與衰減。

阿新 • • 發佈：2019-02-05
用求和符號來簡化這個公式，可以得到：
\sum_{i=0}^{5}{f(i)g(5-i)}, \mathrm{where} \ f(i)=100, g(5-i) = (1.05)^{5-i}
在上式中，f(i)為小明的存錢函式，而g(i)為存入銀行的每一筆錢的複利計算函式。在這裡，小明最終得到的錢就是他的存錢函式和複利計算函式的卷積。
為了更清晰地看到這一點，我們將這個公式推廣到連續的情況，也就是說，小明在從0到t的這一段時間內，每時每刻都往銀行裡存錢，他的存錢函式為f(\tau)\ (0\leq \tau\leq t)，而銀行也對他存入的每一筆錢按複利公式計算收益：g(t-\tau)=(1+5\%)^{t-\tau}，則小明到時間t將得到的總錢數為：
\int_{0}^{t} f(\tau)g(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t} f(\tau)(1+5\%)^{t-\tau}d\tau
這也就是卷積的表示式了，上式可以記為(f\ast g)(t)。

相信通過上面這個例子，大家應該能夠很清晰地記住卷積公式了。下面我們再展開說兩句：

如果我們將小明的存款函式視為一個訊號發生（也就是激勵）的過程，而將複利函式g(t-\tau)視為一個系統對訊號的響應函式（也就是響應）
，那麼二者的卷積(f\ast g)(t)就可以看做是在t時刻對系統進行觀察，得到的觀察結果（也就是輸出）將是過去產生的所有訊號經過系統的「處理／響應」後得到的結果的疊加，這也就是卷積的物理意義了。

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