本文翻譯自這篇論文
譯者水平有限，如有錯漏，還望指出
論文中有虛擬碼可以幫助理解
眾所周知，字串的border有和等差數列相關的一些性質（border group），可以參考2015年集訓隊論文集裡的《淺談字串匹配的幾種方法》一文，迴文串的迴文border也有類似的性質。

tips：
真字尾定義類似真子集

下面給出演算法所用到的幾個引理
引理1
令y為迴文串x的字尾，y是x的border當且僅當y是迴文串
證明顯然
引理2
令y為x的字尾且|x|≤|2y|$|x|\le |2y|$，x是迴文串當且僅當y是迴文串
證明顯然
引理3
令y為x的真字尾，|x|−|y|$|x|-|y|$是x的迴圈節當且僅當y是迴文串

令y為迴文串x的最長迴文真字尾，z為y的最長迴文真字尾，不妨令x=uy,y=vz$x=uy,y=vz$，那麼有

(1)|u|≥|v|$(1)|u|\ge |v|$

(2)if|u|>|v|,|u|>|z|$(2)if|u|>|v|,|u|>|z|$

(3)if|u|=|v|,u=v$(3)if|u|=|v|,u=v$

由前三個引理可證

有了上述4個引理，我們可以類似border group搞事情

對於一個字首S1,j$S_{1,j}$，定義Pj$P_j$為下標集合{p1,p2...pm},p1<p2<...<pm$\{p_1,p_2...p_m\},p_1<p_2<$

引理5

Pj$P_j$的差值單調不增，且最多有O(logj)$O(\log j)$種取值

由引理4顯然

對每個不同的差值Δ$\mathrm{\Delta }$，定義Pj,Δ={pi:1<i≤m,pi−pi−1=Δ}$P_{j,\mathrm{\Delta }}=\{p_i:1<i\le m,p_i-p_{i-1}=\mathrm{\Delta }\}$ ， 特殊的， Pj,∞={p1}$P_{j,\mathrm{\infty }}=\{p_1\}$，每一個Pj,Δ$P_{j,\mathrm{\Delta }}$可以表示為三元組(minPj,Δ,Δ,|Pj,Δ)$(min{P}_{j,\mathrm{\Delta }},\mathrm{\Delta },|P_{j,\mathrm{\Delta }})$，將三元組按Δ$\mathrm{\Delta }$降序記在連結串列Gj$G_j$中

那麼由引理5，Gj$G_j$的大小是O(logj)$O($