座標系

在不同的領域和不同的背景下，選擇不同的座標系。如傳統計算機圖形學選用左手座標系，線性代數則傾向於右手座標系

從物體座標系轉換到世界座標系的步驟：

1、將物體座標軸順時針旋轉45度轉換到慣性座標系；

2、將慣性座標系向下、左平移轉換到世界座標系；

向量

向量與位置無關緊要，只有大小和方向才是最重要的。

向量變負，將得到一個和原向量大小相等、方向相反的向量。

向量加減法——三角形法則。

（多個向量相加）

減法b-a代表了從a到b的向量。

向量點乘（Dot Product）：

點乘得到一個標量。點乘結果描述了兩個向量的相似程度，點積結果越大兩向量越相似。

a·b	θ	角度	a和b
>0	0=<θ<90	銳角acute	方向基本相同
=0	θ==90	直角right	正交
<0	90<θ<=180	鈍角obtuse	方向基本相反

向量v在向量n上的投影：v_Ⅱ，

向量叉乘（Cross Product）

叉乘不滿足交換律也不滿足結合律，但滿足反交換律：a

×b = –(b×a)。

叉乘得到的向量垂直與原來的兩個分量：

a×b的長度為向量的大小與向量夾角sin值的積：

也等於以a和b為邊的平行四邊形的面積：

零向量和其他任何向量都平行。

矩陣

矩陣乘法：一個ｒ×ｎ的矩陣Ａ能和一個ｎ×ｃ的矩陣Ｂ相乘，得到一個ｒ×ｃ的矩陣，記為ＡＢ

任意矩陣M和一個方陣相乘，不管從哪邊乘，都將得到一個與M大小相同的矩陣。單位矩陣相乘：MI=IM=M。

矩陣積的轉置等於先轉置再以相反的順序乘：。

行向量左乘矩陣時，結果是行向量。列向量右乘矩陣時，結果是列向量。

矩陣——向量乘法，滿足對向量加法的分配律：(v+w)M=vM+wM。

線性無關——不在同一個平面。

線性變換：滿足F(a+b)=F(a)+F(b)和F(ka)=kF(a)。

對映F(a)=aM，當M為任意方陣時，說對映是一個線性變換

零向量的任意線性變換的結果仍然是零向量。線性變換不會導致平移（原點位置上不會變化）。

行列式的幾何意義：2D中是以基向量為邊的平行四邊形的有符號面積；3D中是以基向量為邊的平行六面體的有符號體積。

如果矩陣行列式為0，那麼該矩陣包含投影。

如果矩陣行列式為負，那麼該矩陣包含映象。

方陣M的行列式：

代數餘子式：從矩陣M中除去第i行第j列後剩下的矩陣。

矩陣的逆：M與M^-1相乘時，結果是單位矩陣I。則M^-1為M的逆。

奇異矩陣：如果一個矩陣沒有逆矩陣，則稱它不可逆或奇異矩陣。如果一個矩陣有逆矩陣，則稱它可逆或非奇異的。

標準伴隨矩陣：adj M，定義為M的代數餘子式矩陣的轉置矩陣。

矩陣的逆能用標準伴隨矩陣除以行列式來求得：

矩陣的逆的重要性質：

如果M是非奇異矩陣，則該矩陣的逆的逆等於原矩陣：(M^-1)^-1=M.

單位矩陣的逆勢它本身：I^-1=I

矩陣轉置的逆等於它逆的轉置：(M^T)^-1=(M^-1)^T

矩陣乘積的逆等於矩陣的逆的相反順序的乘積：(AB)^-1= B^-1 A^-1

正交矩陣：若方陣M是正交的，則當且僅當M與它轉置M^T的乘積等於單位矩陣。MM^T=I.

如果一個矩陣式正交的，那麼它的轉置等於它的逆：M^T= M^-1。

若一個矩陣是正交的，它必須滿足：

矩陣的每一行都是單位向量。

矩陣的所有行都相互垂直。

施密特正交化

3×3矩陣僅能表達3D中的線性變換（沒做平移），4×4矩陣可以構造包含平移的一般仿射變換（由一個線性變換接上一個平移組成）矩陣。如：繞不通過原點的軸旋轉；沿不穿過原點的平面縮放、映象、正交投影等；

4D齊次座標：(x,y,z,w)第四個w為齊次座標。通過投影得到的實際3D點為(x/w,y/w,z/w)。w=0時4D點表示“無限遠點”，它描述了一個方向。

4D矩陣實現3D平移：

能將任意4×4矩陣分解為線性變換不和和平移部分：

透視投影

小孔成像

點p通過原點向平面z=-d投影的結果：

尤拉角：將方位分解成繞三個互相垂直的軸旋轉。（heading：繞物體座標(此時和慣性座標系重合)y軸的旋轉量；pitch：繞物體座標系x軸旋轉量；bank：繞物體座標系z軸旋轉量。）

也叫roll-pitch-yaw，roll類似於bank，yaw類似於heading。

四元數

四元數：[w,v]或[w,(x,y,z)]，w是標量分量；v是3D向量分量。

一個四元數定義了一個複數：w+xi+yj+zk。四元數能旋轉3D中的向量。

單位四元數：[1,0]

四元數的模：

四元數插值——slerp（Spherical Linear interpolation球面線性插值）

標準線性插值：

四元數樣條——squad

2Ｄ旋轉矩陣：

繞任意軸（n是單位向量）旋轉的3D旋轉矩陣：

沿任意軸（單位向量ｎ為縮放方向，ｋ為縮放因子）的３Ｄ縮放矩陣：

向垂直於n的平面投影的3D矩陣：

使縮放因子k=-1匯出映象矩陣：

沿任意通過原點且垂直於n的反射軸的2D映象矩陣——

沿通過原點且垂直於n的平面鏡像的3D映象矩陣——

切變：切變是一種座標系“扭曲”變換，非均勻地拉伸它。切變的時候角度會發生變化，但面積和體積不變。

變換的組合就是利用矩陣乘法及其結合律。

幾何圖元

直線（Line）、線段（Line Segment）、射線（Ray）。

球（Sphere）和圓

矩形邊界框：

AABB：Axially aligned bounding boxes（軸對齊矩形邊界框）

OBB：oriented bounding box（方向矩形邊界框）

平面（Plane）

n為平面的法向量。

三角形（Triangle）

重心（barycentric）（Center of gravity）：中線（頂點到對邊中心點的連線）交點。

內心（Incenter）：到三邊距離相等的點（內切圓的圓心），也是角平分線的交點。

內切圓解決了尋找與三條直線相切的圓的問題。

外心（Circumcenter）：到各頂點距離相等的點（外切圓的圓心），也是各邊垂直平分線的交點。

外心和外切圓半徑解決了尋找過三個點的圓的問題。

多邊形（Polygons）

簡單多邊形、複雜多邊形

自相交多邊形（Self-intersecting Polygons）

凸（Convex）多邊形、凹（Concave）多邊形

三角分解和扇形分解

幾何檢測

三角網格（頂點快取、三角帶、三角扇）：頂點焊接（Welding Vertices）操作、面拆分（Detaching Faces）、邊縮坍（Edge Collapse使邊的兩個頂點變為一個）、網格消減（Mesh Decimation）。