線性方程組什麼時候無解？多個解？有唯一解？

一。非齊次線性方程組，無解，多解，唯一解

非齊次線性方程組，就是方程組的等式右邊不為0的方程組，係數加上方程等式右邊的矩陣，叫做增廣矩陣

【例1】求解下列線性方程組

化簡後的有效方程組個數小於未知數個數，有多個解$化簡後的有效方程組個數小於未知數個數，有多個解$。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2x1+3x2+x3=2x1−2x2+2x3=43x1+x2+3x3=6$$\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2+x_3=2\\ x_1-2x_2+2x_3=4\\ 3x_1+x_2+3x_3=6\end{array}$$

第一步，先列出增廣矩陣，

⎛⎝⎜⎜⎜⎜2133−21123|2|4|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$(\begin{array}{cccc}2& 3& 1& |2\\ 1& -2& 2& |4\\ 3& 1& 3\end{array}$$

|6)

第二步，用高斯消元法化簡，化簡成階梯矩陣
先把第2行換到第1行

⎛⎝⎜⎜⎜⎜123−231213|4|2|6⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 2& |4\\ 2& 3& 1& |2\\ 3& 1& 3& |6\end{array}\right)$$

，第2行減第1行的2倍，第3行減第1行的3倍，得到

⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−2772−3−3|4|−6|−6⎞⎠⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}1& -2& 2& |4\\ 0& 7& -3& |-6\\ 0& 7& -3& |-6\end{array}\right)$$
，第3行減第2行，得到
⎛⎝⎜⎜⎜⎜100−2702−30|4|−6|0⎞⎠⎟⎟⎟⎟