在這一章節，我們以其中一段曲線段為例，改變其對應的控制點，看看曲線段形狀的改變，同時也看看對應的迴旋體圖形的改變。

控制點座標如下圖：

“問題六十”中的“基本曲線”的控制點對應如上ABCDEF六個點（其中A點在1位置）。對應輸出的迴旋體圖形如下（再次貼出來）：

說明一下：

1，由於我們接下來測試時的lookfrom座標和“問題六十”中的座標是有差異的，所以，輸出的圖形立體呈現是有差異的。

2，接下來，我們圖片中的曲線段是從迴旋體上切下來的，會得到兩條關於y軸對稱的曲線段，實際的“基本曲線”中的曲線段對應其中的一條。

我們知道如上回旋體的“基本曲線”是有三段三次b-spline曲線段拼接而成，分別對應的控制點為ABCD、BCDE、CDEF。

我們接下來要測試的是控制點ABCD對應的曲線段。

測試方式：BCD的位置保持不變，A點的位置依次如下改變（12，7，6，2，1，3，5，4，8，9，10，11），然後對比這12中情況的曲線段的變化情況和對應迴旋體的變化情況。

//12
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3(-2.0, -3.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};
 

//7
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3(-4.0,  0.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//6
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3(-4.0,  2.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};
 

//2
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3(-4.0,  5.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//1
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3(-1.0,  5.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//3
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 2.0,  5.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//5
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 2.0,  7.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//4
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 4.0,  5.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//8--discover some problems
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 4.0,  4.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//9
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 4.0,  2.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//10
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 4.0,  0.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

//11
        vec3 ctrl_points[6] = {vec3( 3.0, -5.0,  0.0), vec3( 2.0,  4.0,  0.0),
                               vec3( 2.0,  1.0,  0.0), vec3(-0.5,  1.0,  0.0),
                               vec3( 1.5, -3.0,  0.0), vec3( 3.0,  0.0,  0.0)};

=++

=++

最後，說一下，“曲線段”是怎麼從迴旋體中切出來的呢？

只需要對“一元六次方程”的根對應的z座標的範圍加以限制即可。對應修改的程式碼：

                roots_equation_6th(ss6, 0, 1, tol, roots);
                for (int j=1; j<(int(roots[0])+1); j++) {
                    yyv = matrix_c_v[0][i]+matrix_c_v[1][i]*roots[j]+matrix_c_v[2][i]*roots[j]*roots[j]+matrix_c_v[3][i]*roots[j]*roots[j]*roots[j];
                    roots_t[num_roots_t+1][0] = (yyv-yy0)/yyd;

                        roots_t[num_roots_t+1][1] = i;
                        roots_t[num_roots_t+1][2] = roots[j];
                        num_roots_t ++;

                }
            }
            roots_t[0][0] = float(num_roots_t);