前言

假設你是個大學老師。 在檢查了一週的作業後，對學生進行了打分。 讓錄分員建立一個包含所有學生成績的電子表格，要求是隻含分數不含學生姓名等資訊。

於是乎，錄分員一個大粗心，漏錄了好幾個分數，介個時候不知道把誰給漏錄了。來看看怎麼解決這個問題吧。

一種方法是視覺化已錄資料，並從中發現某些資料中的趨勢。

上面這個圖就是畫出來的資料的頻率分佈圖。 可以從圖的邊緣隱約看到一條光滑的曲線可以用來定義我們的資料，但是我們也得注意到一個異常，有個段的柱條缺半截似的，也就是這一段分數範圍內的頻率異常低。所以最好是能有些值來把這個短半截給補上。

這就是一個現實生活中用資料分析解決問題的一個例子。對任何科學家而言，不管你是個學生或者是專家，分佈是一個必知的概念。因為這是分析和統計推斷的基礎。

概率概念給了我們計算它的方法，分佈才是幫我們看清資料背後的暗泉湧動。

目錄：

1. 常見資料型別
2. 分佈型別
   
   1. 伯努利分佈（Bernoulli Distribution）
   2. 均勻分佈（Uniform Distribution）
   3. 二項分佈（Binomial Distribution）
   4. 正態分佈（Normal Distribution）
   5. 泊松分佈（Poisson Distribution）
   6. 指數分佈（Exponential Distribution）
3. 分佈之間的關係
4. 測一測

一、常見資料型別

在正式的解釋分佈之前，我們先來看一看平時遇到的資料。資料可大致分為離散型資料和連續型資料。

離散型資料

離散型資料顧名思義就是隻取幾個特定的值。例如：當你擲骰子的時候，結果只有1,2,3,4,5,6，不會出現類似1.5,2.5。

連續型資料

在一個給定的範圍內，連續型資料可以取任意值。這個範圍可以是有限的或者是無窮的。例如：一個人的體重或者身高，可以取值54kg,54.4kg,54.33333kg等等都沒有問題。

下面就開始介紹分佈的型別。

二、分佈型別

伯努利分佈（Bernoulli Distribution）

首先從最簡單的分佈開始，伯努利分佈實際上是一個聽起來最容易理解的分佈。

伯努利分佈一次實驗有兩個可能的結果，比如1代表success及0代表failure。隨機變數X

這裡，概率分佈函式為px(1−p)1−x，其中x∈(0,1)，我們也可以寫成如下形式：

成功和失敗的概率沒必要相同，也就是沒必要都是0.5，但是這倆概率加和應該為1，比如可以是下面的圖：

這個圖就是p(success)=0.15，p(failure)=0.85。

下面說一下隨機變數的期望，一個分佈的期望就是這個分佈的均值。服從伯努利分佈的隨機變數X的期望值就是：

服從伯努利分佈的隨機變數的方差是：

還有許多伯努利分佈的例子，比如說明天是否會下雨，今天會不會去健身，明天乒乓球比賽是不是會贏。

均勻分佈（Uniform Distribution）

當你擲骰子的時候，結果出現1到6中的任何一個，而任何一個結果出現的概率都是相同的，這就是均勻分佈最原始的雛形。你可能看出來了，與伯努利分佈不同的是，這n個出現的結果的概率都是相同的。

一個隨機變數X為均勻分佈是指密度函式如下：

下圖為均勻分佈的密度圖的樣子：

咱們可以看出來均勻分佈的密度圖是個矩形，這也就是為啥均勻分佈的暱稱是矩形分佈。

對於均勻分佈來說a和b都是引數，分佈的引數。

例子：假如花店每日銷售的花束數量均勻分佈，最多40只，最少10只。

我們來嘗試計算每日賣花數量在15到30之間的概率。由於隨機變數所有可能發生的事件的概率和為1，並且賣花數量是均勻分佈，所有在15到30之間的概率為(30−15)∗1(40−10)=0.5。類似的對於每日賣花數量大於20發生的概率就是1−(20−10)∗1(40−10)=23。

若隨機變數X服從均勻分佈，那麼它的均值和方差分別為：

Mean->E(X)=(a+b)2

Variance->V(X)=(b−a)212

標準的均勻分佈的密度引數為a=0和b=0，所以對於標準的均勻分佈的密度函式為：

二項分佈（Binomial Distribution）

我們假定一個隨機變數，比如X，表示你贏得比賽的次數。 X可能的值是什麼？ 它可以是任何數字，贏得比賽的次數。

如果就兩個可能的結果。 成功，失敗。 因此，成功概率= 0.5，失敗的概率可以容易地計算為：q=p−1=0.5。

只有兩種結果是可能的分佈，如成功或失敗，以及所有試驗的成功和失敗概率相同的情況稱為二項分佈。

發生結果的可能性不同時， 前面的例子如果實驗成功的概率是0.2，那麼失敗的概率可以很容易地計算出來，q=1−0.2=0.8。

每次試驗都是獨立的，因為之前的結果並不決定或影響當前的結果。 只有兩次重複n次的可能結果的實驗稱為二項式。 二項分佈的引數是n和p，其中n是試驗的總數，p是每個試驗中成功的概率。

基於上述解釋，二項分佈的性質是：

1. 每次實驗獨立
2. 試驗中只有兩種可能的結果 - 成功或失敗。
3. 共進行了n次相同的試驗。
4. 所有試驗的成功和失敗的概率是相同的。 （試驗是相同的。）

二項分佈的數學表示式由下式給出：

一個二項分佈圖，其中成功的概率不等於失敗的概率長這樣：

成功概率與失敗概率相等，長這樣：

二項分佈均值和方差：

Mean -> μ=n∗p

Variance -> Var(X)=n∗p∗q

正態分佈（Normal Distribution）

正態分佈可以表示宇宙中大多數的事件發生情況。 如果任何分佈具有以下特徵，則稱為正態分佈：

1. 均值、中位數、眾數在一個分佈中取相同的值；
2. 分佈曲線關於x=μ對稱；
3. 曲線下面的面積總和為；
4. 中心位置的左半邊和右半邊對應位置的概率取值相同。

正態分佈與二項分佈有很大的不同。 但是，如果試驗次數接近無窮大，則形狀將非常相似。