幾個餘數的定理和性質以及它們的應用
阿新 • • 發佈：2019-02-07
數論中除了整除以外，還有一個很重要也很難的知識點，就是餘數，理解餘數性質時，要與整除性聯絡起來，從被除數中減掉餘數，那麼所得到的差就能夠被除數整除了．在一些題目中因為餘數的存在，不便於我們計算，去掉餘數，回到我們比較熟悉的整除性問題，那麼問題就會變得簡單了，這樣就需要用到餘數中一個非常重要的定理—同餘定理。
同餘定義
如果a，b除以c的餘數相同，就稱a，b對於除數c來說是同餘的，且有a與b的差能被c整除．（a，b，c均為自然數）
例如：17與13除以3的餘數都是2，所以(17－11)能被3整除．
同餘定理 ①如果 a%b = c, 則有(a+kb)%b = c; (k為非0整數)
②如果 a%b = c, 則有(k*a)%b = k*c%b; (k為正整數)
③(a+b)%c = ((a%c) + (b%c)) % c;
④(a*b)%c = ((a%c)*(b%c)) % c;
a與b的和除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之和（或這個和除以c的餘數）．例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以(23+16)除以5的餘數等於3+1=4．注意：當餘數之和大於除數時，所求餘數等於餘數之和再除以c的餘數．例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以(23+19)除以5的餘數等於(3+4)除以5的餘數。（二）可減性
a與b的差除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之差．例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以(23－16)除以5的餘數等於3－1=2．注意：當較大數的餘數小於較小數的餘數時，所求餘數等於c減去餘數之差．例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以 除以(23－19)的餘數等於5－(4－3)=4.（三）
a與b的乘積除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之積（或這個積除以c的餘數）．例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以除以5的餘數等於3*1 = 3． 注意：當餘數之積大於除數時，所求餘數等於餘數之積再除以c的餘數．例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以 除以5的餘數等於3*4除以5的餘數．（四）乘方性如果a與b除以m的餘數相同，那麼a^n與b^n除以m的餘數也相同，但不一定等於原餘數．
例如：3，7除以4的餘數都是3，可以算得3^2和7^2除以4的餘數都等於1，它們的餘數相等但不一定等於3. 餘數判別法
當一個數N不能被另一個數整除時，雖然可以用長除法去求得餘數，但當被除位數較多時，計算是很麻煩的．建立餘數判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的餘數”，我們希望找到一個較簡單的數R，使得：N與R對於除數m同餘．由於R是一個較簡單的數，所以可以通過計算R被m除的餘數來求得N被m除的餘數．
⑵整數N被4或25除的餘數等於N的末兩位數被4或25除的餘數；
⑶整數N被8或125除的餘數等於N的末三位數被8或125除的餘數；
⑷整數N被3或9除的餘數等於其各位數字之和被3或9除的餘數；
⑸整數N被11除的餘數等於N的奇數位數之和與偶數位數之和的差被11除的餘數；
再加一個整理的結論： 能被7、13、11整除的特徵（實際是一個方法）是這樣的：
將一個多於4位的整數在百位與千位之間分為兩截，形成兩個數，左邊的數原來的千位、萬位成為個位、十位（依次類推）。
將這兩個新數相減（較大的數減較小的數），所得的差不改變原來數能被7、11、13整除的特性，如果所得的差依然大於999，再次進行上一步，直到所得的差小於1000為止。
例如：判斷71858332能否被7、11、13整除，這個數比較大，
將它分成71858、332兩個數（右邊是三位數）
71858-332=71526;
再將71526分成71、526兩個數（右邊是三位數）
526-71=455;
由於455數比原數小得多，
相對來說容易判斷455能被7和13整除，不能被11整除，
所以原來的71858332能被7和13整除，不能被11整除。
同餘問題 "差同減差，和同加和，餘同取餘，最小公倍加"
所謂同餘問題，就是給出“一個數除以幾個不同的數”的餘數，反求這個數，稱作同餘問題。
首先要對這幾個不同的數的最小公倍數心中有數，下面以4、5、6為例，請記住它們的最小公倍數是60。
1、差同減差：用一個數除以幾個不同的數，得到的餘數，與除數的差相同，
此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，減去這個相同的差數，稱為：“差同減差”。
例：“一個數除以4餘1，除以5餘2，除以6餘3”，因為4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示為60n-3。
2、和同加和：用一個數除以幾個不同的數，得到的餘數，與除數的和相同，
此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，加上這個相同的和數，稱為：“和同加和”。
例：“一個數除以4餘3，除以5餘2，除以6餘1”，因為4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示為60n+7。
3、餘同取餘：用一個數除以幾個不同的數，得到的餘數相同，
此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，加上這個相同的餘數，稱為：“餘同取餘”。
例：“一個數除以4餘1，除以5餘1，除以6餘1”，因為餘數都是1，所以取+1，表示為60n+1。
4、最小公倍加：所選取的數加上除數的最小公倍數的任意整數倍（即上面1、2、3中的60n）都滿足條件，
稱為：“最小公倍加”，也稱為：“公倍數作週期”。
一般關於餘數的題目根據"差同減差，和同加和，餘同取餘，最小公倍加"就可以解出正確答案，但是好多關於餘數的題目，不是僅僅知道上面17個字就能解題的，是對餘數三大定理的靈活應用。
如果a，b除以c的餘數相同，就稱a，b對於除數c來說是同餘的，且有a與b的差能被c整除．（a，b，c均為自然數）
例如：17與13除以3的餘數都是2，所以(17－11)能被3整除．
同餘定理 ①如果 a%b = c, 則有(a+kb)%b = c; (k為非0整數)
②如果 a%b = c, 則有(k*a)%b = k*c%b; (k為正整數)
③(a+b)%c = ((a%c) + (b%c)) % c;
④(a*b)%c = ((a%c)*(b%c)) % c;
a與b的和除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之和（或這個和除以c的餘數）．例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以(23+16)除以5的餘數等於3+1=4．注意：當餘數之和大於除數時，所求餘數等於餘數之和再除以c的餘數．例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以(23+19)除以5的餘數等於(3+4)除以5的餘數。（二）可減性
a與b的差除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之差．例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以(23－16)除以5的餘數等於3－1=2．注意：當較大數的餘數小於較小數的餘數時，所求餘數等於c減去餘數之差．例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以 除以(23－19)的餘數等於5－(4－3)=4.（三）
a與b的乘積除以c的餘數，等於a，b分別除以c的餘數之積（或這個積除以c的餘數）．例如：23，16除以5的餘數分別是3和1，所以除以5的餘數等於3*1 = 3． 注意：當餘數之積大於除數時，所求餘數等於餘數之積再除以c的餘數．例如：23，19除以5的餘數分別是3和4，所以 除以5的餘數等於3*4除以5的餘數．（四）乘方性如果a與b除以m的餘數相同，那麼a^n與b^n除以m的餘數也相同，但不一定等於原餘數．
例如：3，7除以4的餘數都是3，可以算得3^2和7^2除以4的餘數都等於1，它們的餘數相等但不一定等於3. 餘數判別法
當一個數N不能被另一個數整除時，雖然可以用長除法去求得餘數，但當被除位數較多時，計算是很麻煩的．建立餘數判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的餘數”，我們希望找到一個較簡單的數R，使得：N與R對於除數m同餘．由於R是一個較簡單的數，所以可以通過計算R被m除的餘數來求得N被m除的餘數．
⑵整數N被4或25除的餘數等於N的末兩位數被4或25除的餘數；
⑶整數N被8或125除的餘數等於N的末三位數被8或125除的餘數；
⑷整數N被3或9除的餘數等於其各位數字之和被3或9除的餘數；
⑸整數N被11除的餘數等於N的奇數位數之和與偶數位數之和的差被11除的餘數；
再加一個整理的結論： 能被7、13、11整除的特徵（實際是一個方法）是這樣的：
將一個多於4位的整數在百位與千位之間分為兩截，形成兩個數，左邊的數原來的千位、萬位成為個位、十位（依次類推）。
將這兩個新數相減（較大的數減較小的數），所得的差不改變原來數能被7、11、13整除的特性，如果所得的差依然大於999，再次進行上一步，直到所得的差小於1000為止。
例如：判斷71858332能否被7、11、13整除，這個數比較大，
將它分成71858、332兩個數（右邊是三位數）
71858-332=71526;
再將71526分成71、526兩個數（右邊是三位數）
526-71=455;
由於455數比原數小得多，
相對來說容易判斷455能被7和13整除，不能被11整除，
所以原來的71858332能被7和13整除，不能被11整除。
同餘問題 "差同減差，和同加和，餘同取餘，最小公倍加"
所謂同餘問題，就是給出“一個數除以幾個不同的數”的餘數，反求這個數，稱作同餘問題。
首先要對這幾個不同的數的最小公倍數心中有數，下面以4、5、6為例，請記住它們的最小公倍數是60。
1、差同減差：用一個數除以幾個不同的數，得到的餘數，與除數的差相同，
此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，減去這個相同的差數，稱為：“差同減差”。
例：“一個數除以4餘1，除以5餘2，除以6餘3”，因為4-1=5-2=6-3=3，所以取-3，表示為60n-3。
2、和同加和：用一個數除以幾個不同的數，得到的餘數，與除數的和相同，
此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，加上這個相同的和數，稱為：“和同加和”。
例：“一個數除以4餘3，除以5餘2，除以6餘1”，因為4+3=5+2=6+1=7，所以取+7，表示為60n+7。
3、餘同取餘：用一個數除以幾個不同的數，得到的餘數相同，
此時反求的這個數，可以選除數的最小公倍數，加上這個相同的餘數，稱為：“餘同取餘”。
例：“一個數除以4餘1，除以5餘1，除以6餘1”，因為餘數都是1，所以取+1，表示為60n+1。
4、最小公倍加：所選取的數加上除數的最小公倍數的任意整數倍（即上面1、2、3中的60n）都滿足條件，
稱為：“最小公倍加”，也稱為：“公倍數作週期”。
一般關於餘數的題目根據"差同減差，和同加和，餘同取餘，最小公倍加"就可以解出正確答案，但是好多關於餘數的題目，不是僅僅知道上面17個字就能解題的，是對餘數三大定理的靈活應用。
下面列幾個例題，涉及中國剩餘定理和大數求餘通過同餘性質化大為小
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7.
繼續加油~~~
參考文獻：