感知機模型是一個非常基礎的模型，是神經網路的根基。

感知機模型

感知機模型是一個二分類的線性分類模型，輸入是樣本的特徵向量，輸出是樣本的類別，取值+1和-1。

模型定義

假設輸入空間(特徵空間)是⊆Rn，輸出空間是={+1,−1}。輸入x∈表示樣本的特徵向量，對應於輸入空間(特徵空間)的點，輸出y∈對應樣本的類別。有輸入空間到輸出空間的對映函式如下：

f(x)=sign(w⋅x+b)

就是感知機的形式。其中w和 b是感知機的模型引數，w∈Rn是係數或叫權重、權值，b∈R叫偏置， w⋅x表示w 和 x的內積。sign是符號函式：

sign(x)={+1,x≥0−1,x<

0

感知機是一種線性分類模型，感知機模型的假設空間是定義在特徵空間中所有的線性分類模型或線性分類器。函式的集合{f∣f(x)=w⋅x+b}。

感知機的幾何解釋

線性方程：w⋅x+b=0對應特徵空間Rn的一個超平面S，其中w是超平面的法向量，b 是超平面的截距。這個超平面把特徵空間劃分成兩個部分，位於兩個部分的點(特徵向量)被劃分為正、負兩類。超平面S被稱作分離超平面。

如上圖所示，假設在二維特徵空間，w⋅x+b=0表示分離超平面，∘ 表示正類取值+1，即w⋅xi+b>0。× 表示負類取值-1，即w⋅xi+b<0。

總結一句話：感知機需要找到一個能夠將訓練資料集的正樣本和負樣本完全正確分開的分離超平面。

學習策略

感知機學習的前提是資料集線性可分，也就是說存在一個分離超平面S能夠正確將正類和負類劃分到超平面的兩側，即對所有的yi=+1的樣本，有w⋅xi+b>0；對所有yi=−1的樣本，有w⋅xi+b<0。說明資料集線性可分。
感知機想要找到這個分離超平面，就需要確定模型的引數 w和b，需要制定一個學習的策略，即定義損失函式並最小化損失函式。
由於直接定義樣本分類錯誤的個數，這個函式不是連續可導函式不易於優化求最優值。另一個想法是計算分類錯誤點到分離超平面的距離和，這就是感知機所採用的損失函式。
一個點到超平面的距離公式：1||w|||w∗x+b|，||w||是w的L2範數。

其中

1. L0範數，指的是向量中非零元素的個數。向量{1,0,-3,0,1,2}的L0範數為4。
2. L1範數，指的是向量中元素絕對值之和。向量{1,0,-3,0,1,2}的L1範數為|1|+|0|+|−3|+|0|+|1|+|2|=7。
3. L2範數，指的是向量中元素平方和的正平方根。向量{1,0,-3,0,1,2}的L1範數為12+02+(−3)2+02+12+22‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√=15‾‾‾√。

其中對誤分類點

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