◇NOIP2016 普及組◇魔法陣

Description
六十年一次的魔法戰爭就要開始了，大魔法師準備從附近的魔法場中汲取魔法能量。
大魔法師有m個魔法物品，編號分別為1,2,…,m。每個物品具有一個魔法值，我們用Xi表示編號為i的物品的魔法值。每個魔法值Xi是不超過n的正整數，可能有多個物品的魔法值相同。
大魔法師認為，當且僅當四個編號為a,b,c,d的魔法物品滿足xa < xb < xc < xd，Xb - Xa = 2 ( Xd - Xc )，並且 xb - xa < ( xc - xb ) / 3時，這四個魔法物品形成了一個魔法陣，他稱這四個魔法物品分別為這個魔法陣的A物品，B物品，C物品，D物品。
現在，大魔法師想要知道，對於每個魔法物品，作為某個魔法陣的A物品出現的次數，作為B物品的次數，作為C物品的次數，和作為D物品的次數。
Input

Output
共輸出m行，每行四個整數。第i行的四個整數依次表示編號為i的物品作 為A,B,C,D物品分別出現的次數。
保證標準輸出中的每個數都不會超過10^9。
每行相鄰的兩個數之間用恰好一個空格隔開。

Sample Input

30 8
1
24
7
28
5
29
26
24

Sample Output

4 0 0 0
0 0 1 0
0 2 0 0
0 0 1 1
1 3 0 0
0 0 0 2
0 0 2 2
0 0 1 0
 

題目解析
對於這道NOIP普及組的第四題，畢竟有些難度。於是大多數人追求的是騙分，而在比賽後做這道題，我們瞭解到了正解——仍然是列舉。
首先涉及一定的 數學分析 。看到：“Xa < Xb < Xc < Xd，Xb - Xa = 2 ( Xd - Xc )，並且 Xb - Xa < ( Xc - Xb ) / 3”，我們可以先整合一下：

1. 先把 Xb−Xa=2(Xd−Xc) 代入 Xb−Xa<(Xc−Xb)/3，得到 2(Xd−Xc)<(Xc−Xb)/3，再同時乘3，得 6(Xd−Xc)<Xc−Xb；
2. 我們把它用幾何語言解釋一下，就是：在數軸上，a 到 b 的距離是 d 到 c 的距離的2倍；6倍的 c 到 d 的距離小於 b 到 c 的距離；
3. 我們把 d 到 c 的距離記為 i ，那麼 b−a=2i,c−b>6i,d−c=i
4. 表現在數軸上：
   

由於C++最方便計算整數，因此 >6i我們可以略為6i+1 。因此我們就得到 c−b=6i+1。
再回到程式上——首先是幾個陣列：

1. 在這裡物品的序號並沒有任何的影響，我們可以用 int 陣列 magic[i] 表示魔法值為i的物品的總數；
2. 還需要一個存答案的 int 陣列 ans[i][j] 表示魔法值為i的物品作為 a,b,c,d（0,1,2,3）的次數；

先列舉i的值。因為 d<=n ，所以 d−a<=n，即 2i+i+6i+1<=n，就得到了i的範圍 i<=(n−1)/9，因為 i=n/9 時對答案沒有任何影響，我們可以寫成 i<=n/9。
由於確定了a就可以確定b，確定了d就可以確定c，根據組合數學的乘法原理，我們可以用一個字首和sum變數來儲存每一個a的值所對應的 c*d 的字首和或每一個d的值所對應的 a*b 的字首和。又由於 a 與 b 相關， c 與 d 相關，於是就可以求得每一個a或d的值所對應的物品應用次數。
不多說，看程式碼。

程式樣例

/*Lucky_Glass*/
/*$魔法陣$*/
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define M_max 15000
#define T_max 40000
using namespace std;
int read(){int x=0;char ch=getchar();while(ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();while('0'<=ch && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x;}//讀入優化
int magic[M_max+5];
int T_num,M_num,ans[M_max+5][4],F[T_max+5];
int main()
{
    scanf("%d%d",&M_num,&T_num);
    for(int i=1;i<=T_num;i++) F[i]=read(),magic[F[i]]++;
    for(int i=1;i<=M_num/9;i++)
    {
        for(int d=i*9+2,sum=0;d<=M_num;d++)
        {
            int c=d-i,b=d-7*i-1,a=d-9*i-1;
            sum+=magic[a]*magic[b];
            ans[c][2]+=magic[d]*sum;
            ans[d][3]+=magic[c]*sum;
        }
        for(int a=M_num-i*9-1,sum=0;a>=1;a--)
        {
            int b=a+2*i,c=a+8*i+1,d=a+9*i+1;
            sum+=magic[c]*magic[d];
            ans[a][0]+=magic[b]*sum;
            ans[b][1]+=magic[a]*sum;
        }
    }
    for(int i=1;i<=T_num;i++)
        printf("%d %d %d %d\n",ans[F[i]][0],ans[F[i]][1],ans[F[i]][2],ans[F[i]][3]);
    return 0;
}

The End

Thanks for reading!

-Lucky_Glass