無重複序列入棧的出棧方式個數

首先，出棧方式的個數為h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,…)
例如1、2、3這三個數字，入棧並出棧共有5種方式，分別為：321、312、231、213、123。
再例如，對於1、2、3、4這四個數字，4個元素的全排列共有24種，棧要求符合後進先出，按此衡量排除後即得：
1234√ 1243√ 1324√ 1342√ 1423× 1432√
2134√ 2143√ 2314√ 2341√ 2413× 2431√
3124× 3142× 3214√ 3241√ 3412× 3421√
4123× 4132× 4213× 4231× 4312× 4321√
入棧並出棧共有14種可能。
那麼對於長度為n的無重複序列中所有的出棧方式有哪些呢？
1個元素進棧，有1種出棧順序；
2個元素進棧，有2種出棧順序；
3個元素進棧，有5種出棧順序
我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：
f(1) = 1 //即 1
f(2) = 2 //即 12、21
f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231
然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d,輸出結果第一個出棧的位置為1號位置，第二個出棧的位置為2號位置， 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如出棧結果為abcd,元素a就在1號位置)。
分析：
1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧之後馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；
2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)， 根據乘法原理，無論cd什麼順序，元素a在2號位置的順序只有f(1)種可能順序，那麼一共的順序個數為f(1) * f(2)；
3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；
4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即 f(3)；
結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：
f(4) = f(0)f(3) + f(1)*f(2) + f(2) f(1) + f(3)*f(0)
然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + … + f(n-1)*f(0)
即
f(n)=sum(0,n-1,f(i)*f(n-1-i) )
根據此遞迴公式，相應的動態規劃程式碼如下（來自：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int* arr = new int[n+1];
    memset(arr, 0, sizeof(int)*(n+1)); 
    arr[0] = 1;
    arr[1] = 1; 

    //遞推關係式 
    for (int i=2; i<=n; ++i)
    {
        for
 
 (int j=0; j<i; ++j)
        {
            arr[i] += arr[j] * arr[i-1-j]; 
        }
    }

    cout << arr[n] << endl;

    delete[] arr; 
    return 0;
}

由於遞迴公式的時間複雜度仍為O(n2)，通項公式則更佳，因此，我還摘錄了通項公式法的分析（來自：http://www.cnblogs.com/jiayouwyhit/p/3222973.html）
對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把該數進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。
（如果1的累計數小於0的累計數，則進棧元素的個數少於出棧元素，這顯然不可能的。）
在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求：
不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。
反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。
因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。
顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。
由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)。其中，n為節點的個數
此時，通項公式得到，其成為卡塔蘭數。

打印出棧順序/打印出棧方式

為了設計打印出出棧順序的演算法，我們可以用佇列（queue）來模擬輸入，佇列的輸出則按照原先序列的順序。使用一個棧（stack）來模擬入棧和出棧，結果儲存在另外一個佇列（queue）中。
現在的問題來了，怎麼樣可以實現所有的出棧入棧操作。
首先來看看出棧和入棧是怎麼回事，對於123這個序列，1先入棧之後有兩種選擇，1出棧和不出棧（2入棧），而若1不出棧（2已經入棧）之後，在2出棧之前1則不能先行出棧，故對於1我們只需要考慮其在2入棧之前出棧的情況，若1在棧內時2入棧，則1與2只能看成一個整體。
這樣就可以用遞迴的方式求解，以下為演算法描述，其中input表示入棧元素的順序，local表示模擬的棧，output表示在已經出棧的部分解。
虛擬碼如下：

Solution(input,local,output)
If(input.empty)
/*由於input佇列已經沒有內容，此時沒有入棧元素的影響，local棧和output佇列的內容就是最後的結果*/
    If(local.empty() )
        輸出output佇列的內容
    Else
        While(local棧不空)
            將local的棧頂元素出棧，放進output佇列之中
        Solution(input,local,output)
    end if
Else
/*當有入棧元素時，出棧元素順序會受到入棧元素和棧頂元素是否出棧的影響*/
    If(local.empty() ) 
        從input佇列中出佇列一個元素並放入local之中
        Solution(input,local,output)
    end if
Else
/*此時有兩種可能，可以是local棧的棧頂元素出棧，也可以是不出棧並從input佇列中取一個元素放進去，先模擬出棧，再把棧內元素放回去*/
    將local的棧頂元素出棧，暫存，並放入output佇列之中
    Solution(input,local,output)
    將剛剛出棧的local的棧頂元素放回local棧之中
    將剛剛放入output佇列之中的元素拿出來
    從input佇列中出佇列一個元素並放入local之中
    Solution(input,local,output)
/*兩種方法，一種是這裡的利用output和local進行分叉搜尋，另一種搜尋方法是從input中取出元素壓棧（此時棧頂元素不出棧）時查找出棧順序，然後把壓入棧的元素彈出來放回input之中，然後local棧頂元素出棧，去搜索此時的出棧順序。*/
end if
End Solution

其基本思想為對於中間棧的每一個時刻拍照，都遞迴其後續的所有可能，由於在遞迴返回的時候還需要遞迴前的資訊，所以每次遞迴都是新建資料結構而儲存當前時刻的狀態。若輸入佇列已經為空，則中間棧只有一種出棧方式，中間棧也為空時遞迴結束。
詳細程式碼如下：

#include <iostream>
#include <stack> 
#include <deque>
#include <queue>
using namespace std; 

void dfs(queue<int> input, stack<int> local, deque<int> output) {
    if (input.empty())
    {
        if (local.empty())
        {   
            cout << endl;
            int temp;
            while (!output.empty())
            {
                temp = output.back();
                output.pop_back();
                cout << temp << " ";
            } 
            cout << endl;
        }
        else
        {
            while (!local.empty())
            {
                output.push_front(local.top());
                local.pop();
            }
            dfs(input, local, output);
        }
    }
    else
    {
        if (!local.empty())
        {
            int temp = local.top();
            local.pop();
            output.push_front(temp);
            dfs(input, local, output);
            local.push(temp);
            output.pop_front();
            temp = input.front();
            input.pop();
            local.push(temp);
            dfs(input, local, output);

        }
        else
        {
            int temp = input.front();
            input.pop();
            local.push(temp);
            dfs(input, local, output);
        }
    }
}

int main() {
    queue<int> input_iterator_tag;
    for (int i = 1; i < 5; i++)
    {
        input_iterator_tag.push(i);
    } 
    dfs(input_iterator_tag, stack<int>{}, deque<int>{});
    return 0;
}

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最終結果：C(2n,n)-C(2n,n+1)
有機會再補充吧，最近刷題這麼猛，還是找不到工作，人艱不拆。
參考文獻：
https://zhidao.baidu.com/question/198485664882428485.html
http://www.cnblogs.com/jiayouwyhit/p/3222973.html