P1632 點的移動

題目描述

平面上有N個整數座標點。如果將點（x0,y0）移動到（x1,y1），則需要的代價為|x0-x1|+|y0-y1|。求使得K(K=1,…,N)個點在同一位置上最少需要的代價。

輸入輸出格式

第一行兩個正整數N；

接下來N行，每行兩個正整數xi和yi，為第i個點的座標，不超過10^6。

【資料規模】

對於100%的資料中，滿足1<=N<=50。

輸出共N行，第i行為使得有i個點在統一位置的最少代價。

輸入輸出樣例

4
15 14
15 16
14 15 
16 15

0
2
3
4

這道題網上題解太籠統，沒有很嚴格的證明，總是用“很顯然”去代替，去掩蓋。

我想試著詳細證明一下，我的大多數題解都有證明（可能不是很嚴謹），

首先，我並沒有解出這道題。看到題解後，想了好久，才弄出下面這種證明的方法。

不過，為了讓你們充分思考，我下面寫一些啟發式的線索，如果還有疑問，請私信或回覆我，我會私信回覆你證明過程。

先說結論：終點的橫縱座標全部來自原來點的橫縱座標。為了避免理解偏頗，我們舉個例子：三個點（a,b）（c,d）（e,f），那麼終點可能是（a,f）。

自己想可能有一定難度，但大家先想一個小時，再看下面的提示。

1、把x按順序排成一列，從兩段開始兩兩考慮，怎樣最短。

再想。

2、類似兩點之間線段最短。

再想

關門，放程式碼。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>

int n,x[60],y[60];

inline int d(int i,int j,int k){return abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[k]);}

int dis[60],ans[60];

int sum;

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<=59;i++)
	{
	ans[i]=99999999;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++) //列舉所有的x 
	{
	
		for(int j=1;j<=n;j++)//列舉所有的y 
		{
			
			for(int k=1;k<=n;k++)//列舉所有點，計算
			{
				dis[k]=d(k,i,j);
			}
			
			sum=0;
			std::sort(dis+1,dis+n+1);
			
			for(int k=1;k<=n;k++)
			{
				sum+=dis[k];
				ans[k]=std::min(ans[k],sum);
			}
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		printf("%d\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}