大一的時候，表哥發給我幾個問題，有一個還記得大概內容，但是不記得當時是否解決了，當時沒有用程式給實現出來,用數學推的。

突然記起來了，就寫點程式碼試了下，現在記錄下。。。

問題描述：

    有一個飛機有100個座位，飛機票被賣給了100個乘客，乘客必須順序依照自己的編號就坐。如果自己的位置被別人佔用了，就隨機在剩下的空座位中找一個坐下。正常情況下，就是1號乘客坐1號座位，2號乘客坐2號座位，以此類推。

    可是現在1號乘客是個瘋子，他隨便找了個座位坐下（不一定是1號座位）。現在問第100號乘客坐到自己座位的概率是多少？

我用 python 寫了段程式碼，列印的結果是接近 0.5。

而且奇怪的發現，當乘客總數=座位總數=1時，這個概率為1，否則，最後一個乘客坐到自己座位的概率都為0.5左右。後來發現這個值的原因應該跟 馬爾科夫不等式 有關。

解題思路：

    1. 第100號座位必定會被人坐到，而且是在這100個乘客中的某個人。

    2. 那麼所有乘客坐到第100座位的概率之和應該是1.

    依次分析 1號乘客坐到100號座位的概率是 0.01, 2號乘客坐到100號座位的條件是1號乘客佔了2號的位子，2號選擇了100號座位坐下，概率是(1/100)*(1/99), 3號乘客坐到 100 號座位的條件是前面2個人有人坐了他的位子，他去坐100號座位。否則他就要去坐3號自己的位置。

使用 python3.6的程式碼實現如下：

   def showList(la):
    print("---------showList-----------")
    print("[")
    s = ''
    for i in range(len(la)):
        if i % 10 == 0:
            s += "["
        s += '{0:.5f}'.format(la[i])
        if (i+1) % 10 == 0:
            print(s + "]")
            s = ''
        else:
            s += ", "
    print(s+ "]")


seats = [0 for i in range(100)]

seats[0] = 1.0/len(seats)
for i in range(len(seats)-1):
    for j in range(i):
        temp = seats[j] * (1.0/(len(seats) - i))

        seats[i] += temp

# 為確保總概率為1，目標位置的概率最好為1.0減去前面的人坐目標位置的概率

seats[len(seats)-1] = 1.0-sum(seats)
showList(seats)
 

列印結果：

---------showList-----------

[

[0.01000, 0.00010, 0.00010, 0.00011,0.00011, 0.00011, 0.00011, 0.00011, 0.00012, 0.00012]

[0.00012, 0.00012, 0.00013, 0.00013,0.00013, 0.00014, 0.00014, 0.00014, 0.00015, 0.00015]

[0.00015, 0.00016, 0.00016, 0.00017,0.00017, 0.00018, 0.00018, 0.00019, 0.00019, 0.00020]

[0.00020, 0.00021, 0.00021, 0.00022,0.00023, 0.00023, 0.00024, 0.00025, 0.00026, 0.00026]

[0.00027, 0.00028, 0.00029, 0.00030,0.00031, 0.00032, 0.00034, 0.00035, 0.00036, 0.00038]

[0.00039, 0.00041, 0.00043, 0.00044,0.00046, 0.00048, 0.00051, 0.00053, 0.00055, 0.00058]

[0.00061, 0.00064, 0.00067, 0.00071,0.00075, 0.00079, 0.00084, 0.00089, 0.00095, 0.00101]

[0.00108, 0.00115, 0.00123, 0.00132,0.00142, 0.00154, 0.00167, 0.00181, 0.00198, 0.00216]

[0.00238, 0.00263, 0.00292, 0.00327,0.00368, 0.00417, 0.00476, 0.00549, 0.00641, 0.00758]

[0.00909, 0.01111, 0.01389, 0.01786,0.02381, 0.03333, 0.05000, 0.08333, 0.16667, 0.50000]

]

當調整座位和乘客人數為10時，結果還是0.5：

---------showList-----------
[
[0.10000, 0.01111, 0.01389, 0.01786, 0.02381, 0.03333, 0.05000, 0.08333, 0.16667, 0.50000]

]

===================================

如果，這時，需求改為求第50個乘客坐到自己位置的概率呢？此時，可以把上述程式碼改為如下，即可打印出所有乘客坐到自己座位的概率，並且此時乘客總數不必等於座位總數，只要按原規則坐即可。

程式碼如下：

#----------------------------
def showList(la):
    print("---------showList-----------")
    print("[")
    s = ''
    for i in range(len(la)):
        if i % 10 == 0:
            s += "["
        s += '{0:.5f}'.format(la[i])
        if (i+1) % 10 == 0:
            print(s + "]")
            s = ''
        else:
            s += ", "
    print(s+ "]")


# 求出第 peopleNum 個人（從1開始，人和座位編號是從0開始的）找到自己位置的概率，
# totalSeatsNum 是座位總數
def getPsit2TargetSeat(peopleNum, totalSeatsNum):
    pSeats = [0 for i in range(peopleNum)]


    pSeats[0] = 1.0/totalSeatsNum


    for i in range(peopleNum - 1):
        for j in range(i):
            temp = pSeats[j] * (1.0/(totalSeatsNum - i))
            pSeats[i] += temp


    if peopleNum > 1:
        pSeats[peopleNum - 1] = 1- sum(pSeats)
    #showList(pSeats)
    return pSeats[peopleNum - 1]


# 獲取每個人坐到自己座位的概率的列表，totalSeatsNum是總座位數
def getProbilityOfEveryOneSetSelfSeat(totalSeatsNum):
    p = []
    for i in range(totalSeatsNum):
        p.append(getPsit2TargetSeat(i+1, totalSeatsNum))
    return p


SEATS_NUM = 10 # 總座位數
#T_NUM = 10
#print(getPsit2TargetSeat(T_NUM, SEATS_NUM))



showList(getProbilityOfEveryOneSetSelfSeat(SEATS_NUM))

--------------------------分割線

上面程式碼以10為例，列印結果是：

---------showList-----------
[
[0.10000, 0.90000, 0.88889, 0.87500, 0.85714, 0.83333, 0.80000, 0.75000, 0.66667, 0.50000]
]