數據結構（四）圖

1.圖的概念

1.1圖的定義：

圖是一個由頂點集合V和一個弧集R構成的數據結構。

ADT Graph { ? 數據對象V：V是具有相同特性的數據元素的集合，稱為頂點集。 ? 數據關系R： ? R = {VR} ? VR = {<v,w>|v,wV且P(v,w),<v,w>表示從v到w的弧，

謂詞P(v,w)定義了<v,w>的意義或信息 }

1.2 圖的重要術語

（1）無向圖：在一個圖中，如果任意兩個頂點構成的偶對（v,w）∈E 是無序的，即頂點之間的連線是沒有方向的，則稱該圖為無向圖。

（2）有向圖：在一個圖中，如果任意兩個頂點構成的偶對（v,w）∈E 是有序的，即頂 點之間的連線是有方向的，則稱該圖為有向圖。

（3）無向完全圖：在一個無向圖中，如果任意兩頂點都有一條直接邊相連接，則稱該圖 為無向完全圖。在一個含有 n 個頂點的無向完全圖中，有 n(n-1)/2 條邊。

（4）有向完全圖：在一個有向圖中，如果任意兩頂點之間都有方向互為相反的兩條弧相 連接，則稱該圖為有向完全圖。在一個含有 n 個頂點的有向完全圖中，有 n(n-1)條邊。

（5）稠密圖、稀疏圖：若一個圖接近完全圖，稱為稠密圖；稱邊數很少（e<nlogn）的圖為稀疏圖。

（6）頂點的度、入度、出度： 頂點的度（degree）是指依附於某頂點 v 的邊數，通常記為 TD (v)。 在有向圖中，要區別頂點的入度與出度的概念。頂點 v 的入度是指以頂點為終點的弧的 數目，記為 ID (v)；頂點 v 出度是指以頂點 v 為始點的弧的數目，記為 OD (v)。 TD (v)=ID (v)＋OD (v)。 可以證明，對於具有 n 個頂點、e 條邊的圖，頂點 vi的度 TD (vi)與頂點的個數以及邊的 數目滿足關系：

（7）邊的權、網圖：與邊有關的數據信息稱為權（weight）。在實際應用中，權值可以有 某種含義。邊上帶權的圖稱為網圖或網絡（network）。如果邊是有方向的帶權圖，則就是一 個有向網圖。

（8）路徑、路徑長度：頂點 vp到頂點 vq之間的路徑（path）是指頂點序列 vp,vi1,vi2, …, vim,vq.。其中，（vp,vi1），(vi1,vi2)，…,(vim,.vq)分別為圖中的邊。 路徑上邊的數目稱為路徑長度。

（9）簡單路徑、簡單回路：序列中頂點不重復出現的路徑稱為簡單路徑。除第一個頂點 與後一個頂點之外，其他頂點不重復出現的回路稱為簡單回路，或者簡單環。

（10）子圖：對於圖 G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在 V’是 V 的子集 ，E’是 E 的子 集，則稱圖 G’是 G 的一個子圖。

（11）連通圖、連通分量：在無向圖中，如果從一個頂點 vi到另一個頂點 vj(i≠j)有路徑， 則稱頂點 vi和 vj是連通的。如果圖中任意兩頂點都是連通的，則稱該圖是連通圖。無向圖的 極大連通子圖稱為連通分量。

（12）強連通圖、強連通分量：對於有向圖來說，若圖中任意一對頂點 vi 和 vj(i≠j)均有 從一個頂點 vi到另一個頂點 vj有路徑，也有從 vj到 vi的路徑，則稱該有向圖是強連通圖。有 向圖的極大強連通子圖稱為強連通分量。

（13）生成樹：所謂連通圖 G 的生成樹，是 G 的包含其全部 n 個頂點的一個極小連通子 圖。它必定包含且僅包含 G 的 n-1 條邊。在生成樹中添加任意一條屬於原圖中的邊必定會產 生回路，因為新添加的邊使其所依附的兩個頂點之間有了第二條路徑。若生成樹中減少任意 一條邊，則必然成為非連通的。

（14）生成森林：在非連通圖中，由每個連通分量都可得到一個極小連通子圖，即一棵 生成樹。這些連通分量的生成樹就組成了一個非連通圖的生成森林。

2.圖的存儲及基本操作

數據結構（四）圖