中美貿易戰中運用最多的就是數學--博弈論
特朗普是個不安分的傢伙，由他一手挑起了中美貿易戰
非常顯然，小編是不會直接參與其中出力的，但小編總想著要為fans們做些貢獻
，那就讓小編帶著大家學學中美貿易戰中運用的最多的數學知識--博弈論吧
。
那麼什麼是呢？先說說博弈論的概念：
博弈論又被稱為對策論（Games Theory),是研究具有鬥爭或競爭性質現象的理論和方法，它既是現代數學的一個新分支，也是運籌學的一個重要學科。
知道了博弈論的概念，那麼下面不得不說說博弈論的發展：
博弈論思想古已有之，我國古代的《孫子兵法》就不僅是一部軍事著作，而且算是最早的一部博弈論專著。
博弈論最初主要研究象棋、橋牌、賭博中的勝負問題（原來是小編不賭博，所以沒有自己發明博弈論
1928年馮·諾意曼（馮大叔）證明了博弈論的基本原理，從而宣告了博弈論的正式誕生。
馮·諾意曼
1944年，馮·諾意曼和摩根斯坦共著的劃時代鉅著《博弈論與經濟行為》將二人博弈推廣到 n 人博弈結構並將博弈論系統的應用於經濟領域，
摩根斯坦
從而奠定了這一學科的基礎和理論體系。
博弈論與經濟行為
談到博弈論就不能忽略博弈論天才納什
納什
納什的開創性論文：
《n人博弈的均衡點》（1950），
《非合作博弈》（1951）
等等，給出了納什均衡的概念和均衡存在定理。
此外，塞爾頓、哈桑尼的研究也對博弈論發展起到推動作用。
今天博弈論已發展成一門較
OK，是時候讓我們深入認識博弈論了。
博弈論的基本概念：
博弈要素
(1)局中人
在一場競賽或博弈中，每一個有決策權的參與者成為一個局中人。只有兩個局中人的博弈現象稱為“兩人博弈”,而多於兩個局中人的博弈稱為 “多人博弈”。
(2)策略
一局博弈中，每個局中人都有選擇實際可行的完整的行動方案，即方案不是某階段的行動方案，而是指導整個行動的一個方案，一個局中人的一個可行的自始至終全域性籌劃的一個行動方案，稱為這個局中人的一個策略。
如果在一個博弈中局中人都總共有有限個策略，則稱為“有限博弈”，否則稱為“無限博弈”。
(3)得失
一局博弈結局時的結果稱為得失。每個局中人在一局博弈結束時的得失，不僅與該局中人自身所選擇的策略有關，而且與全域性中人所取定的一組策略有關。所以，一局博弈結束時每個局中人的“得失”是全體局中人所取定的一組策略的函式，通常稱為支付（payoff）函式
(4)對於博弈參與者來說，存在著一博弈結果
(5)博弈涉及到均衡
均衡是平衡的意思，在經濟學中，均衡意即相關量處於穩定值。在供求關係中，某一商品市場如果在某一價格下，想以此價格買此商品的人均能買到，而想賣的人均能賣出，此時我們就說，該商品的供求達到了均衡。所謂納什均衡，它是一穩定的博弈結果。
納什均衡(Nash Equilibrium)：
在一策略組合中，所有的參與者面臨這樣一種情況，當其他人不改變策略時，他此時的策略是最好的。也就是說，此時如果他改變策略，他的支付將會降低。
在納什均衡點上，每一個理性的參與者都不會有單獨改變策略的衝動（美國現任總統特朗普除外）。
納什均衡點存在性證明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出。
所謂“均衡偶”是在二人零和博弈中，當局中人A採取其最優策略a*,局中人B也採取其最優策略b*,如果局中人仍採取b*,而局中人A卻採取另一種策略a，那麼局中人A的支付不會超過他採取原來的策略a*的支付。這一結果對局中人B亦是如此。
這樣，“均衡偶”的明確定義為：
一對策略a*(屬於策略集A)和策略b*（屬於策略集B）稱之為均衡偶，對任一策略a(屬於策略集A)和策略b（屬於策略集B），總有：偶對（a, b*）≤偶對(a*,b*)≤偶對（a*，b）。
對於非零和博弈也有如下定義：
一對策略a*（屬於策略集A）和策略b*（屬於策略集B）稱為非零和博弈的均衡偶，對任一策略a(屬於策略集A）和策略b（屬於策略集B），總有：對局中人A的偶對（a, b*） ≤偶對(a*,b*);對局中人B的偶對（a*，b）≤偶對(a*,b*)。
有了上述定義，就立即得到納什定理：
任何具有有限純策略的二人博弈至少有一個均衡偶。這一均衡偶就稱為納什均衡點。
納什定理的嚴格證明要用到不動點理論，不動點理論是經濟均衡研究的主要工具。通俗地說，尋找均衡點的存在性等價於找到博弈的不動點。
納什均衡點概念提供了一種非常重要的分析手段，使博弈論研究可以在一個博弈結構裡尋找比較有意義的結果。但納什均衡點定義只侷限於任何局中人不想單方面變換策略，而忽視了其他局中人改變策略的可能性，因此，在很多情況下，納什均衡點的結論缺乏說服力，研究者們形象地稱之為“天真可愛的納什均衡點”。
塞爾頓（R·Selten)在多個均衡中剔除一些按照一定規則不合理的均衡點，從而形成了兩個均衡的精煉概念：子博弈完全均衡和顫抖的手完美均衡。
博弈的型別
(1)合作博弈：
研究人們達成合作時如何分配合作得到的收益，即收益分配問題。
(2)非合作博弈：
研究人們在利益相互影響的局勢中如何選決策使自己的收益最大，即策略選擇問題。
(3)完全資訊不完全資訊博弈：
參與者對所有參與者的策略空間及策略組合下的支付有充瞭解稱為完全資訊；反之，則稱為不完全資訊。
(4)靜態博弈和動態博弈
靜態博弈：
指參與者同時採取行動，或者儘管有先後順序，但後行動者不知道先行動者的策略。
動態博弈：
指雙方的的行動有先後順序並且後行動者可以知道先行動者的策略。
財產分配問題和夏普里值（Shapley value）
考慮這樣一個合作博弈：a、b、c三人投票決定如何分配100萬，他們分別擁有50％、40％、10％的權力，規則規定，當超過50%的票認可了某種方案時才能通過。那麼如何分配才是合理的呢?
按票力分：a50萬、b40萬、c10萬
c向a提出：a70萬、b0萬、 c30萬
b向a提出：a80萬、b20萬、c0萬
…
權力指數：
每個決策者在決策時的權力體現在他在形成的獲勝聯盟中的“關鍵加入者”的個數，這個“關鍵加入者”的個數就被稱為權利指數。
夏普里值：
在各種可能的聯盟次序下，參與者對聯盟的邊際貢獻之和除以各種可能的聯盟組合。
次序 abc acb bac bca cab cba
關鍵加入者 a c a c a b
由此計算出a,b,c的夏普里值分別為：4/6,1/6,1/6
所以a,b,c應分別獲得100萬的：2/3,1/6,1/6。
既然知道了什麼叫博弈論，那麼這東西有什麼用處呢？
博弈論的意義
弈論的研究方法和其他許多利用數學工具研究社會經濟現象的學科一樣，都是從複雜的現象中抽象出基本的元素，對這些元素構成的數學模型進行分析，而後逐步引入對其形勢產影響的其他因素，從而分析其結果。
基於不同抽象水平，形成三種博弈表述方式，標準型、擴充套件型和特徵函式型
利用這三種表述形式,可以研究形形色色的問題。因此,它被稱為“社會科學的數學”從理論上講，博弈論是研究理性的行動者相互作用的形式理論，而實際上正深入到經濟學、政治學、社會學（）等等，被各門社會科學所應用。
博弈論是指某個個人或是組織，面對一定的環境條件，在一定的規則約束下，依靠所掌握的資訊，從各自選擇的行為或是策略進行選擇並加以實施，並從各自取得相應結果或收益的過程，在經濟學上博弈論是個非常重要的理論概念。 （哇哇，小編突然想，這不就是當下的中美貿易戰嗎）
什麼是博弈論？古語有云，世事如棋。生活中每個人如同棋手，其每一個行為如同在一張看不見的棋盤上佈一個子，精明慎重的棋手們相互揣摩、相互牽制，人人爭贏，下出諸多精彩紛呈、變化多端的棋局。博弈論是研究棋手們 “出棋” 著數中理性化、邏輯化的部分，並將其系統化為一門科學。換句話說，就是研究個體如何在錯綜複雜的相互影響中得出最合理的策略。
事實上，博弈論正是衍生於古老的遊戲或曰博弈如象棋、撲克等。數學家們將具體的問題抽象化，通過建立自完備的邏輯框架、體系研究其規律及變化。這可不是件容易的事情，以最簡單的二人對弈為例，稍想一下便知此中大有玄妙：若假設雙方都精確地記得自己和對手的每一步棋且都是最“理性” 的棋手，甲出子的時候，為了贏棋，得仔細考慮乙的想法，而乙出子時也得考慮甲的想法，所以甲還得想到乙在想他的想法，乙當然也知道甲想到了他在想甲的想法… 面對如許重重迷霧，博弈論怎樣著手分析解決問題，怎樣對作為現實歸納的抽象數學問題求出最優解、從而為在理論上指導實踐提供可能性呢？
現代博弈理論由匈牙利大數學家馮·諾伊曼於20世紀20年代開始創立，1944年他與經濟學家奧斯卡·摩根斯特恩合作出版的鉅著《博弈論與經濟行為》，標誌著現代系統博弈理論的初步形成。
對於非合作、純競爭型博弈，諾伊曼所解決的只有二人零和博弈
好比兩個人下棋、或是打乒乓球，一個人贏一著則另一個人必輸一著，淨獲利為零。在這裡抽象化後的博弈問題是，已知參與者集合(兩方) ，策略集合(所有棋著) ，和盈利集合(贏子輸子) ，能否且如何找到一個理論上的“解”或“平衡” ，也就是對參與雙方來說都最“合理”、最優的具體策略？怎樣才是“合理” ？應用傳統決定論中的“最小最大” 準則，即博弈的每一方都假設對方的所有功略的根本目的是使自己最大程度地失利，並據此最優化自己的對策，諾伊曼從數學上證明，通過一定的線性運算，對於每一個二人零和博弈，都能夠找到一個“最小最大解” 。通過一定的線性運算，競爭雙方以概率分佈的形式隨機使用某套最優策略中的各個步驟，就可以最終達到彼此盈利最大且相當。當然，其隱含的意義在於，這套最優策略並不依賴於對手在博弈中的操作。用通俗的話說，這個著名的最小最大定理所體現的基本“理性” 思想是“抱最好的希望，做最壞的打算” 。
經濟學中的“智豬博弈”（Pigs’payoffs）
這個例子講的是：
豬圈裡有兩頭豬，一頭大豬，一頭小豬。豬圈的一邊有個踏板，每踩一下踏板，在遠離踏板的豬圈的另一邊的投食口就會落下少量的食物。如果有一隻豬去踩踏板，另一隻豬就有機會搶先吃到另一邊落下的食物。當小豬踩動踏板時，大豬會在小豬跑到食槽之前剛好吃光所有的食物；若是大豬踩動了踏板，則還有機會在小豬吃完落下的食物之前跑到食槽，爭吃到另一半殘羹。 那麼，兩隻豬各會採取什麼策略？
答案是：小豬將選擇“搭便車”策略，也就是舒舒服服地等在食槽邊；而大豬則為一點殘羹不知疲倦地奔忙於踏板和食槽之間。 （哈哈，米國總統特朗普的憤怒指責不就是這在這裡嗎
）
原因何在？
因為，小豬踩踏板將一無所獲，不踩踏板反而能吃上食物。對小豬而言，無論大豬是否踩動踏板，不踩踏板總是好的選擇。反觀大豬，已明知小豬是不會去踩動踏板的，自己親自去踩踏板總比不踩強吧，所以只好親力親為了。
“小豬躺著大豬跑”的現象是由於故事中的遊戲規則所導致的。規則的核心指標是：
每次落下的事物數量和踏板與投食口之間的距離。 如果改變一下核心指標，豬圈裡還會出現同樣的“小豬躺著大豬跑”的景象嗎？
試試看。
改變方案一：
減量方案。投食僅原來的一半分量。結果是小豬大豬都不去踩踏板了。小豬去踩，大豬將會把食物吃完；大豬去踩，小豬將也會把食物吃完。誰去踩踏板，就意味著為對方貢獻食物，所以誰也不會有踩踏板的動力了。 如果目的是想讓豬們去多踩踏板，這個遊戲規則的設計顯然是失敗的。
改變方案二：
增量方案。投食為原來的一倍分量。結果是小豬、大豬都會去踩踏板。誰想吃，誰就會去踩踏板。反正對方不會一次把食物吃完。小豬和大豬相當於生活在物質相對豐富的“共產主義”社會，所以競爭意識卻不會很強。 對於遊戲規則的設計者來說，這個規則的成本相當高（每次提供雙份的食物）；而且因為競爭不強烈，想讓豬們去多踩踏板的效果並不好。
改變方案三：
減量加移位方案。投食僅原來的一半分量，但同時將投食口移到踏板附近。結果呢，小豬和大豬都在拼命地搶著踩踏板。等待者不得食，而多勞者多得。每次的收穫剛好消費完。 對於遊戲設計者，這是一個最好的方案。成本不高，但收穫最大。
原版的“智豬博弈”故事給了競爭中的弱者（小豬）以等待為最佳策略的啟發。但是對於社會而言，因為小豬未能參與競爭，小豬搭便車時的社會資源配置的並不是最佳狀態。為使資源最有效配置，規則的設計者是不願看見有人搭便車的，政府如此，公司的老闆也是如此。
而能否完全杜絕“搭便車”現象，就要看遊戲規則的核心指標設定是否合適了。 比如，公司的激勵制度設計，獎勵力度太大，又是持股，又是期權，公司職員個個都成了百萬富翁，成本高不說，員工的積極性並不一定很高。這相當於“智豬博弈”增量方案所描述的情形。但是如果獎勵力度不大，而且見者有份（不勞動的“小豬”也有），一度十分努力的大豬也不會有動力了----就象“智豬博弈”減量方案一所描述的情形。最好的激勵機制設計就象改變方案三----減量加移位的辦法，獎勵並非人人有份，而是直接針對個人（如業務按比例提成），既節約了成本（對公司而言），又消除了“搭便車”現象，能實現有效的激勵。
許多人並未讀過“智豬博弈”的故事，但是卻在自覺地使用小豬的策略。股市上等待莊家擡轎的散戶；等待產業市場中出現具有贏利能力新產品、繼而大舉仿製牟取暴利的遊資；公司裡不創造效益但分享成果的人，等等。
因此，對於制訂各種經濟管理的遊戲規則的人，必須深諳“智豬博弈”指標改變的箇中道理。
搞明白了吧？那接下來談談納什博弈論的實際應用吧。
納什博弈論的原理與應用
1950年和1951年納什的兩篇關於非合作博弈論的重要論文，徹底改變了人們對競爭和市場的看法。
他證明了非合作博弈及其均衡解，並證明了均衡解的存在性，即著名的納什均衡。從而揭示了博弈均衡與經濟均衡的內在聯絡。
納什的研究奠定了現代非合作博弈論的基石，後來的博弈論研究基本上都沿著這條主線展開的。
然而，納什天才的發現卻遭到馮·諾依曼的斷然否定，在此之前他還受到愛因斯坦的冷遇。但是骨子裡挑戰權威、藐視權威的本性，使納什堅持了自己的觀點，終成一代大師
。要不是30多年的嚴重精神病折磨，恐怕他早已站在諾貝爾獎的領獎臺上了，而且也絕不會與其他人分享這一殊榮。
納什是一個非常天才的數學家，他的主要貢獻是1950至1951年在普林斯頓讀博士學位時做出的。
然而，他的天才發現----非合作博弈的均衡，即“納什均衡”並不是一帆風順的。
1948年納什到普林斯頓大學讀數學系的博士。那一年他還不到20歲（我的天吶，）。當時普林斯頓可謂人傑地靈，大師如雲。愛因斯坦、馮·諾依曼、列夫謝茨(數學系主任)、阿爾伯特·塔克、阿倫佐·切奇、哈羅德·庫恩、諾爾曼·斯蒂恩羅德、埃爾夫·福克斯……等全都在這裡
。
博弈論主要是由馮·諾依曼(1903—1957)創所立的。他是一位出生於匈牙利的天才的數學家。他不僅創立了經濟博弈論，而且發明了計算機。早在20世紀初，塞梅魯(Zermelo)、鮑羅(Borel)和馮·諾伊曼已經開始研究博弈的準確的數學表達，直到1939年，馮·諾依曼遇到經濟學家奧斯卡·摩根斯特恩(Oskar Morgenstern)，並與其合作才使博弈論進入經濟學的廣闊領域。 1944年他與奧斯卡·摩根斯特恩合著的鉅作《博弈論與經濟行為》出版，標誌著現代系統博弈理論的的初步形成。儘管對具有博弈性質的問題的研究可以追溯到19世紀甚至更早。例如，
1838年古諾(Cournot)簡單雙寡頭壟斷博弈；
1883年伯特蘭和1925年艾奇沃奇思研究了兩個寡頭的產量與價格壟斷；
2000多年前中國著名軍事家孫武的後代孫臏利用博弈論方法幫助田忌賽馬取勝
等等
都屬於早期博弈論的萌芽，其特點是零星的，片斷的研究，帶有很大的偶然性，很不繫統。馮·諾依曼和摩根斯特恩的《博弈論與經濟行為》一書中提出的標準型、擴充套件型和合作型博弈模型解的概念和分析方法，奠定了這門學科的理論基礎。合作型博弈在20世紀50年代達到了巔峰期。
然而，諾依曼的博弈論的侷限性也日益暴露出來，由於它過於抽象，使應用範圍受到很大限制，在很長時間裡，人們對博弈論的研究知之甚少，只是少數數學家的專利，所以，影響力很有限。正是在這個時候，非合作博弈----“納什均衡”應運而生了，它標誌著博弈論的新時代的開始！
納什不是一個按部就班的學生，他經常曠課。據他的同學們回憶，他們根本想不起來曾經什麼時候和納什一起完完整整地上過一門必修課，但納什爭辯說，至少上過斯蒂恩羅德的代數拓撲學。斯蒂恩羅德恰恰是這門學科的創立者，可是，沒上幾次課，納什就認定這門課不符合他的口味。於是，又走人了。
然而，納什畢竟是一位英才天縱的非凡人物，他廣泛涉獵數學王國的每一個分支，如拓撲學、代數幾何學、邏輯學、博弈論等等，深深地為之著迷。納什經常顯示出他與眾不同的自信和自負，充滿咄咄逼人的學術野心。1950年整個夏天納什都忙於應付緊張的考試，他的博弈論研究工作被迫中斷，他感到這是莫大的浪費。殊不知這種暫時的“放棄”，使原來模糊、雜亂和無緒的若干念頭，在潛意識的持續思考下，逐步形成一條清晰的脈絡，突然來了靈感！這一年的10月，他驟感才思潮湧，夢筆生花。其中一個最耀眼的亮點就是日後被稱之為“納什均衡”的非合作博弈均衡的概念。
納什的主要學術貢獻體現在1950年和1951年的兩篇論文之中(包括一篇博士論文)。1950年他才把自己的研究成果寫成題為“非合作博弈”的長篇博士論文，1950年11月刊登在美國全國科學院每月公報上，立即引起轟動。說起來這全靠師兄戴維·蓋爾之功，就在遭到馮·諾依曼貶低幾天之後，他遇到蓋爾，告訴他自己已經將馮·諾依曼的“最小最大原理”(minimax solution)推到非合作博弈領域，找到了普遍化的方法和均衡點。蓋爾聽得很認真，他終於意識到納什的思路比馮·諾伊曼的合作博弈的理論更能反映現實的情況，而對其嚴密優美的數學證明極為讚歎。蓋爾建議他馬上整理出來發表，以免被別人捷足先登。納什這個初出茅廬的小子，根本不知道競爭的險惡，從未想過要這麼做（20歲，）。結果還是蓋爾充當了他的“經紀人”，代為起草致科學院的簡訊，系主任列夫謝茨則親自將文稿遞交給科學院。納什寫的文章不多，就那麼幾篇，但已經足夠了，因為都是精品中的精品。這一點也是值得我們深思的（國內提一個教授，要求在“核心的刊物”上發表多少篇文章。按照這個標準可能納什還不一定夠資格）。
1996年諾貝爾經濟學獎得主莫爾里斯當牛津大學艾奇沃思經濟學講座教授時也沒有發表過什麼文章，特殊的人才，必須有特殊的選拔辦法。
納什在上大學時就開始從事純數學的博弈論研究，1948年進入普林斯頓大學後更是如魚得水。20歲出頭已成為聞名世界的數學家。特別是在經濟博弈論領域，他做出了劃時代的貢獻，是繼馮·諾依曼之後最偉大的博弈論大師之一。他提出的著名的納什均衡的概念在非合作博弈理論中起著核心的作用。後續的研究者對博弈論的貢獻，都是建立在這一概念之上的。由於納什均衡的提出和不斷完善為博弈論廣泛應用於經濟學、管理學、社會學、政治學、軍事科學等領域奠定了堅實的理論基礎。
囚徒困境博弈
在博弈論中，含有佔優戰略均衡的一個著名例子是由塔克給出的“囚徒困境”（prisoners’ dilemma）博弈模型。
該模型用一種特別的方式為我們講述了一個警察與小偷的故事。
假設有兩個小偷A和B聯合犯事、私入民宅被警察抓住。警方將兩人分別置於不同的兩個房間內進行審訊，對每一個犯罪嫌疑人，警方給出的政策是：
如果一個犯罪嫌疑人坦白了罪行，交出了贓物，於是證據確鑿，兩人都被判有罪。
如果另一個犯罪嫌疑人也作了坦白，則兩人各被判刑8年；
如果另一個犯罪嫌人沒有坦白而是抵賴，則以妨礙公務罪（因已有證據表明其有罪）再加刑2年，而坦白者有功被減刑8年，立即釋放。
如果兩人都抵賴，則警方因證據不足不能判兩人的偷竊罪，但可以私入民宅的罪名將兩人各判入獄1年。
表2.2給出了這個博弈的支付矩陣。
B 坦白 | B 抵賴 | |
A 坦白 | -8，-8 | 0，-10 |
A 抵賴 | -10，0 | -1，-1 |
表2.2 囚徒困境博弈
我們來看看這個博弈可預測的均衡是什麼。
對A來說，儘管他不知道B作何選擇，但他知道無論B選擇什麼，他選擇“坦白”總是最優的。顯然，根據對稱性，B也會選擇“坦白”，結果是兩人都被判刑8年。但是，倘若他們都選擇“抵賴”，每人只被判刑1年。在表2.2中的四種行動選擇組合中，（抵賴、抵賴）是帕累托最優的，因為偏離這個行動選擇組合的任何其他行動選擇組合都至少會使一個人的境況變差。不難看出，“坦白”是任一犯罪嫌疑人的佔優戰略，而（坦白，坦白）是一個佔優戰略均衡。 要了解納什的貢獻，首先要知道什麼是非合作博弈問題。
現在幾乎所有的博弈論教科書上都會講“囚犯的兩難處境”的例子，每本書上的例子都大同小異。 博弈論畢竟是數學，更確切地說是運籌學的一個分支，談經論道自然少不了數學語言，外行人看來只是一大堆數學公式。
好在博弈論關心的是日常經濟生活問題，所以不能不食人間煙火。其實這一理論是從棋弈、撲克和戰爭等帶有競賽、對抗和決策性質的問題中借用的術語，聽上去有點玄奧，實際上卻具有重要現實意義。
博弈論大師看經濟社會問題猶如棋局，常常寓深刻道理於遊戲之中。所以，多從我們的日常生活中的凡人小事入手，以我們身邊的故事做例子，娓娓道來，並不乏味。
話說有一天，一位富翁在家中被殺，財物被盜。警方在此案的偵破過程中，抓到兩個犯罪嫌疑人，斯卡爾菲絲和那庫爾斯，並從他們的住處搜出被害人家中丟失的財物。但是，他們矢口否認曾殺過人，辯稱是先發現富翁被殺，然後只是順手牽羊偷了點兒東西。於是警方將兩人隔離，分別關在不同的房間進行審訊。由地方檢察官分別和每個人單獨談話。檢察官說，“由於你們的偷盜罪已有確鑿的證據，所以可以判你們一年刑期。但是，我可以和你做個交易。如果你單獨坦白殺人的罪行，我只判你三個月的監禁，但你的同夥要被判十年刑。如果你拒不坦白，而被同夥檢舉，那麼你就將被判十年刑，他只判三個月的監禁。但是，如果你們兩人都坦白交代，那麼，你們都要被判5年刑。”
特朗普是個不安分的傢伙，由他一手挑起了中美貿易戰非常顯然，小編是不會直接參與其中出力的，但小編總 中美貿易戰中興事件是大國崛起成色試金石！芯片斷供驚醒國人，強國中興是改革開放以來深圳高科技的典型，另外一個華為現在也是如履薄冰！一旦這兩個深圳巨頭倒下，後果細思極恐！ 有些人認為，最好全部禁運，此刻正是國產芯片的好機會。但筆者卻認為，若美國政府的斷貨制裁持續過久，會帶來中興乃至整機產業的滅頂之災。所謂皮之不存 管制 9.1 ash 也會 多次 .com 以及 mean jpg
一場沒有硝煙在戰爭開始了？
今天，輿論的焦點絕對是中美貿易戰了，當然這個價值600億美元的戰還沒開打，雙方媒體的預熱還是做的不錯，感覺好像要打世界大戰一樣。
北京時間2018年3月23日淩晨，美國總統特
近期，西方媒體熱炒中國安防企業產品出現漏洞。中國安防制造商在技術革新和整體解決方案方面可以說是佔據全球行業龍頭地位，擁有全球大部分市場份額。此次西方媒體熱炒雄邁，與外媒熱炒中國陰謀論如出一轍。
隨著中國快速發展，中國製造在眾多方面已經站在了全球領先地位。中國的強勢成長，讓
問題一：
怎麼在海量資料中找出重複次數最多的一個
演算法思想：
方案1：先做hash，然後求模對映為小檔案，求出每個小檔案中重複次數最多的一個，並記錄重複次數。
然後找出上一步求出的資料中重複次數最多的一個就是所求（如下）。
問題二：
手冊 方法 是不是 項目經驗 其他人 註意 下單 一場 ref 首先買個關子，如果你是面試官，你希望招一個什麽樣的人進來？
如果這個問題搞明白了，那麽可以說測試崗位的面試，就變得非常輕松了。
按照一般的慣例，面試官都會讓你自我介紹，介紹你的項目經驗，詢問你的技術能力，
問題一：怎麼在海量資料中找出重複次數最多的一個演算法思想：方案1：先做hash，然後求模對映為小檔案，求出每個小檔案中重複次數最多的一個，並記錄重複次數。 然後找出上一步求出的資料中重複次數最多的一個就是所求（如下）。問題二： 網站日誌中記錄了使用
import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.HashMap;
import java.util. 我們面臨的問題有以下兩點：1）資料量太大，無法在短時間內解決；2）記憶體不夠，沒辦法裝下那麼多的資料。而對應的辦法其實也就是分成1）針對時間，合適的演算法+合適的資料結構來提高處理效率；2）針對空間，就是分而治之，將大資料量拆分成多個比較小的資料片，然後對其各個資料片進行處理，最後再處理各個資料片的結果。原文
在中國，房價問題有一個鐵律：越調控越暴漲。 2018剛剛進入5月，全國各地釋出的調控政策數量就已經超過了115個。僅4月份一個月，全國各種房地產調控政策合計就多達33次，25個城市與部門釋出調控政策，其中海南、北京、杭州等城市釋出了多次房地產相關新政策。 為何要如此恐慌式
這個題目不是程式設計珠璣上看到的，但是解法用到的資料結構在程式設計珠璣上有講到，先歸類到這裡。
求一個字串中連續出現的次數最多的子串。例如字串“abababc”,最多連續出現的為ab，連續出現三次。要和求一個字串中的最長重複子串區分開來，還是上面的字串，那麼最長的重複子串為
import java.util.Collection;
import java.util.Collections;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
public class Mytest
{/*** @par int try tools pub length rem value contains span
1 package test.tools;
2
3 import java.util.Collection;
4 import java.util.Collecti down add 時間復雜度 空間 append 鍵值對 Language trac mod
1.問題描寫敘述
比如：數組a={2,3,1,5,5,5,5,7,8,1}。元素2、3、7、8各出現1次。1出現兩次。5出現4次，則反復次數最多的元素為5 article 規律 生成 clu 一次 strong tor first sub 題目：求一個字符串中連續出現的次數最多的子串。
例如，字符串“abababc”,最多連續出現的為ab，連續出現三次。
思路：
例如字符串“abababc”,最多連續出現的為ab，連續出現 script 最大 spl 技術分享 char 獲取 code java log
1 <!DOCTYPE html>
2 <html>
3 <head lang="en">
4 <meta charset="U cti 次數 fun i++ ons ima ges inf +=
var stringUtil = {};
stringUtil.getMaxLengthCharacter = function(s){
var info = {}, getObj, getMa back 存在 一維數組 pan 字符串 排序。 size 最後一個元素 如果
1、array_unique（$array）
功能：移除數組中重復的值；
參數說明：一般只用的參數值為要去重的一維數組；
返回值：去重後的新數組，保留原來的鍵名；
註意：返回值默認保留重復數 blog 數組 body asc i++ cnblogs attr 次數 獲取 獲取在一個數組中出現最多的字符、個數及其所在的位置
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<title>一個數組中，出現 獲取 bsp max for {} else 查找字符 hello 數量 js查找字符創中出現次數最多的字符及次數
var str = ‘Helloworldtomy‘;
1 function max(str){
2 var json={};
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數組中出現最多的數，以及接口 Map.Entry<K,V>
求數組中反復次數最多的元素
求一個字符串中連續出現次數最多的子串
40.@返回字符串中出現次數最多的那個字符和次數2
獲取字符串中出現次數最多的字符
總結項目中使用次數最多的十個數組函數
獲取在一個數組中出現最多的字符及其所在的位置
js查找字符串中出現次數最多的字符