2019.2.10考試T2, 多項式求exp+生成函數
阿新 • • 發佈:2019-02-10
fine max cto out bit line 我會 sum 只有一個
於是\(ans=\sum\frac{i^{i-2}}{i!}x^i\)
\(\color{#0066ff}{ 題目描述 }\)
為了減小文件大小,這裏不寫一堆題目背景了。
請寫一個程序,輸入一個數字N,輸出N個點的森林的數量。點有標號。
森林是一種無向圖,要求圖中不能存在環(圖可以不連通),或者說是由若幹個樹組成的集合。說到森林,我就想起今年下半年,中美合拍的西遊記即將正式開機,我繼續扮演美猴王孫悟空,我會用美猴王藝術形象努力創造一個正能量的形象,文體兩開花,弘揚中華文化,希望大家能多多關註。
\(\color{#0066ff}{輸入格式}\)
輸入文件只有一個整數N。
\(\color{#0066ff}{輸出格式}\)
輸出森林的方案數。由於答案很大,所以請輸出對998244353取模後的結果。
\(\color{#0066ff}{輸入樣例}\)
3
\(\color{#0066ff}{輸出樣例}\)
7
\(\color{#0066ff}{數據範圍與提示}\)
對於30%的數據滿足3<=n<=9。
對於40%的數據滿足3<=n<=90。
對於50%的數據3<=n<=900。
對於60%的數據滿足3<=n<=9000。
對於100%的數據滿足3<=n<=90000。
\(\color{#0066ff}{ 題解 }\)
規律總結:對於有標號類問題,個體的exp就是集合,集合的ln就是個體
本題來說,個體是個結論,即一棵樹的有標號的種類為\(n^{n-2}\)種
於是\(ans=\sum\frac{i^{i-2}}{i!}x^i\)
前面的根據公式可以化為exp,最後再乘上n!即可
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long LL in() { char ch; LL x = 0, f = 1; while(!isdigit(ch = getchar()))(ch == '-') && (f = -f); for(x = ch ^ 48; isdigit(ch = getchar()); x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48)); return x * f; } const int maxn = 4e6 + 100; const int mod = 998244353; using std::vector; int len, r[maxn], fac[maxn]; LL ksm(LL x, LL y) { LL re = 1LL; while(y) { if(y & 1) re = re * x % mod; x = x * x % mod; y >>= 1; } return re; } void FNTT(vector<int> &A, int flag) { A.resize(len); for(int i = 0; i < len; i++) if(i < r[i]) std::swap(A[i], A[r[i]]); for(int l = 1; l < len; l <<= 1) { int w0 = ksm(3, (mod - 1) / (l << 1)); for(int i = 0; i < len; i += (l << 1)) { int a0 = i, a1 = i + l, w = 1; for(int k = 0; k < l; k++, a0++, a1++, w = 1LL * w0 * w % mod) { int tmp = 1LL * A[a1] * w % mod; A[a1] = ((A[a0] - tmp) % mod + mod) % mod; A[a0] = (A[a0] + tmp) % mod; } } } if(flag == -1) { std::reverse(A.begin() + 1, A.end()); int inv = ksm(len, mod - 2); for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = 1LL * A[i] * inv % mod; } } vector<int> operator * (vector<int> A, vector<int> B) { int tot = A.size() + B.size() - 1; for(len = 1; len <= tot; len <<= 1); for(int i = 0; i < len; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1)); vector<int> ans; FNTT(A, 1), FNTT(B, 1); for(int i = 0; i < len; i++) ans.push_back(1LL * A[i] * B[i] % mod); FNTT(ans, -1); ans.resize(tot); return ans; } vector<int> operator - (const vector<int> &A, const vector<int> &B) { vector<int> ans; for(int i = 0; i < (int)std::min(A.size(), B.size()); i++) ans.push_back(A[i] - B[i]); for(int i = A.size(); i < (int)B.size(); i++) ans.push_back(-B[i]); for(int i = B.size(); i < (int)A.size(); i++) ans.push_back(A[i]); return ans; } vector<int> operator + (const vector<int> &A, const vector<int> &B) { vector<int> ans; for(int i = 0; i < (int)std::min(A.size(), B.size()); i++) ans.push_back(A[i] + B[i]); for(int i = A.size(); i < (int)B.size(); i++) ans.push_back(B[i]); for(int i = B.size(); i < (int)A.size(); i++) ans.push_back(A[i]); return ans; } vector<int> inv(const vector<int> &A) { if(A.size() == 1) { vector<int> ans; ans.push_back(ksm(A[0], mod - 2)); return ans; } int n = A.size(), _ = (n + 1) >> 1; vector<int> B = A, ans; ans.push_back(2); B.resize(_); B = inv(B); ans = B * (ans - A * B); ans.resize(n); return ans; } vector<int> getd(const vector<int> &A) { vector<int> ans; ans.resize(A.size() - 1); for(int i = 1; i < (int)A.size(); i++) ans[i - 1] = 1LL * A[i] * i % mod; return ans; } vector<int> geti(const vector<int> &A) { vector<int> ans; ans.resize(A.size() + 1); for(int i = 0; i < (int)A.size(); i++) ans[i + 1] = 1LL * A[i] * ksm(i + 1, mod - 2) % mod; return ans; } vector<int> getln(const vector<int> &A) { return geti(getd(A) * inv(A)); } vector<int> getexp(const vector<int> &A) { if(A.size() == 1) { vector<int> ans; ans.push_back(1); return ans; } int n = A.size(), _ = (n + 1) >> 1; vector<int> B = A, ans; ans.push_back(1); B.resize(_); B = getexp(B); ans = B * (ans - getln(B) + A); ans.resize(n); return ans; } int main() { freopen("forest.in", "r", stdin); freopen("forest.out", "w", stdout); int n = in() + 1; vector<int> a; fac[0] = 1; for(LL i = 1; i <= n; i++) fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % mod; a.push_back(0); a.push_back(1); for(int i = 2; i <= n; i++) a.push_back(1LL * ksm(i, i - 2) * ksm(fac[i], mod - 2) % mod); a.resize(a.size() << 1); a = getexp(a); printf("%lld", 1LL * a[n - 1] * fac[n - 1] % mod); return 0; }
2019.2.10考試T2, 多項式求exp+生成函數