歐拉圖和哈密頓圖

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通路和回路

• 給定圖G<V,E>中結點和邊相繼交錯出現的序列,其中V表示圖中結點集合,E表示圖中邊的集合
  \[\Gamma=v_0e_1v_1e_2v_2...e_kv_k\]
  1. 若\(\Gamma\)中邊\(e_i\)的兩個端點是\(v_{i-1}\)和\(v_i\) (==G是有向圖時要求\(v_{i-1}與v_{i}分別是e_{i}的起始點和終點\)==),i=1,2,3,...k,則稱\(\Gamma為結點v_0到結點v_k\)的 通路(entry) . \(v_0和v_k\)分別稱為此通路的 始點和終點 , 統稱為通路的 端點
     . 通路中邊的數目k稱為此通路的 長度(length) .當\(v_0=v_k時，此通路稱為\) 回路(circuit)
  2. 若通路中的所有 邊(edges) 互不相同，則稱此通路為 簡單通路(simple entry) 或一條 跡(trail) ;若回路中的所有 邊 互不相同，則稱此回路為 簡單回路(simple circuit,simple cycle) 或一條 閉跡
  3. 若通路中所有 結點(vertices) 互不相同，則稱此通路為 基本通路(basic entry) 或 初級通路、路徑(path) ,若回路中除 \(v_0=v_k\) 外的所有 結點 互不相同(從而所有邊互不相同)，則稱此回路為 基本回路(basic circuit)
     或者 初級回路、圈
• 說明
  1. 回路是通路的特殊情況 因而如果說某條通路，則它可能是回路，但當說一基本通路時,一般指其不是基本回路的情況。
  2. 基本通路一定是簡單通路 , 基本回路一定是簡單回路 , 但是反之不然 , 因為沒有重復的結點肯定沒有重復的邊,但沒有重復的邊不能保證一定沒有重復的結點。

可達(accessible)和距離(distance)

• 在圖G=<V,E>中, \(v_i,v_j\in V\)
  1. 如果從\(v_i\)到\(v_j\)存在通路,則稱\(v_i到v_j\)是 可達的(accessible) ,否則稱 \(v_i到v_j不可達\) 。規定：任何結點到自己都是可達的。
  2. 如果\(v_i到v_j\)可達，則稱長度最短的 通路 為從\(v_i到v_j\)的 短線程(geodesic) ,從 \(v_i到v_j\) 的短線程的長度稱為\(v_i到v_j的\) 距離(distance) ,記為 \(d(v_i,v_j)\) .如果\(v_i到v_j\)不可達，則通常記為\(d(v_i,v_j)=\infty\)
• ==對於無向圖，若\(v_i到v_j可達\),則\(v_j到v_i一定可達\);也有\(d(v_i,v_j)=d(v_j,v_i)\)==

• ==對於有向圖，若\(v_i到v_j可達\),不一定有\(v_j到v_i一定可達\);也不一定有\(d(v_i,v_j)=d(v_j,v_i)\)==

• 在一個具有n個結點的圖中,如果從結點\(v_i到結點v_j(v_i\neq v_j)\) , 存在一條通路則從結點\(v_j到結點v_i\)存在一條長度不大於n-1的基本通路。

• 在一個具有n個結點的圖中,如果存在經過結點\(v_i\)的回路，則存在一條經過結點\(v_i\)的長度不大於n的基本回路。

圖的連通性

無向圖的連通性

• 若無向圖G中的任何兩個結點都是可達的，則稱G是連通圖(connected graph),否則稱G是非連通圖(unconnected graph)

有向圖的連通性

• 設G=<V,E>是一個有向圖，
  1. 略去G中所有有向邊得無向圖G‘,如果無向圖G‘是連通圖，則稱有向圖G是連通圖或弱連通圖(weakly connected graph); 否則稱G是非連通圖.
  2. 若G中任何一對結點之間至少有一個結點到另一個結點是可達的，則稱G是單向連通圖(unilaterally connected graph)
  3. 若G中任何一對結點之間都是互相可達的，則稱G是強連通圖(strongly connected graph)
• 有向圖G是強連通圖的充分必要條件是G中存在一條經過所有結點的 回路
• 有向圖G是單向連通圖的充分必要條件是G中存在一條經過所有結點的 通路

歐拉圖和歐拉通路/回路

• 設G是無孤立結點的圖，若存在一條通路，經過圖中每邊一次且僅一次，則稱此通路為該圖的歐拉通路(eulerian entry)
• 設G是無孤立結點的圖，若存在一條回路，經過圖中每邊一次且僅一次，則稱此回路為該圖的歐拉回路(eulerian circuit) ,具有歐拉回路的圖稱為 歐拉圖(eulerian graph)
• 以上定義既適合無向圖也適合有向圖
• ==歐拉通路是經過圖中所有邊的通路中長度最短的通路，即通過圖中所有邊的簡單通路==
• ==歐拉回路是經過圖中所有邊的回路中長度最短的回路，即為通過圖中所有邊的簡單回路==

歐拉圖的判定和性質

• 無向圖 G=<V,E>具有一條 歐拉通路 ，當且僅當G是 連通的，且僅有零個或兩個奇度數結點
• 無向圖 G=<V,E>具有一條 歐拉回路 ，當且僅當G是 連通的， 並且 所有結點的度數均為偶數
• 有向圖 G 具有一條 歐拉通路 ，當且僅當G是連通的，且除了兩個結點以外，其余結點的入度等於出度，而這兩個例外的結點中，一個節點的入度比出度大1，另一個結點的出度比入度大1.
• 有向圖 G 具有一條 歐拉回路，當且僅當G是連通的，且所有結點的入度等於出度。

哈密頓圖和哈密頓通路/回路

• 經過圖中每個節點一次且僅一次的通路稱為哈密頓通路(Hamiltonian entry/path)
• 經過圖中每個節點一次且僅一次的回路稱為哈密頓回路(Hamiltonian circuit/cycle)
• 存在哈密頓回路的圖稱為哈密頓圖(Hamiltonian graph)
• 哈密頓圖既適合無向圖也適合有向圖
• ==哈密頓通路是經過圖中所有結點的通路中長度最短的通路，即通過圖中所有結點的基本通路==
• ==哈密頓回路是經過圖中所有結點的通路中長度最短的回路，即通過圖中所有結點的基本回路==

歐拉圖和哈密頓圖