這一節主要學習凸函式的定義以及性質。瞭解保凸運算，以及上鏡圖與下水平集等。這些基礎知識看似零亂，然而卻是後面的基礎。特別是，在實際應用中如果我們能把一個問題轉化為凸優化問題，是非常好的一步。而能夠這樣做的前提，是知道基本的函式的凸性以及有哪些保凸運算。上鏡圖有助於我們從集合的角度理解這個函式為什麼是凸的（集合的保凸運算）；水平集是以函式的形式表示集合，類似於等高線，在歷史上是重要的方法。這裡我們通過下水平集把函式的凸性和集合的凸性聯絡了起來。

基本性質

定義

凸函式(Convex)的定義如下：

即：自變數的凸組合的函式值小於等於函式值的凸組合。

嚴格凸函式，只要把等號去掉。

凹函式（Concave）是凸函式取負號。

仿射函式是既凸且凹的

常見的凸函式

• 仿射函式
• eaX，∀a∈R
• 指數函式：xα在R++，對α≥1或者α≤0
• ​

擴充套件值延伸

定義凸函式在定義域外的值為∞，從而將定義域延伸至全空間Rn。

一階條件(First Order Conditions)

函式f可微分，則函式f是凸函式的充要條件是其定義域dom f是凸集且對於任意的x,y∈domf，下式成立

即大於等於一階泰勒近似。上式說明了一個凸函式的區域性資訊。對於嚴格凸和凹函式，有相應的結論。

對於一個凸函式，其一階泰勒近似是原函式的一個全域性下估計。反之，若某個函式的一階泰勒近似總是其全域性下估計，則這個函式是凸的。

二階條件

函式f二階可微（函式在定義域的開集上處處存在二階導數），則f是凸函式的充要條件是：其Hessian矩陣是半正定矩陣。即對於所有x∈domf，有

此條件說明函式的倒數是非遞減的。從幾何上看是指函式影象在x點具有正的曲率。

函式f二階可微（函式在定義域的開集上處處存在二階導數），則f是凹函式的充要條件是：其Hessian矩陣是半負定矩陣。即對於所有x∈domf，有

R上的例子

• 指數函式。對任意a∈R， 函式eax在R上是凸的
• 冪函式。當a≥1或者a≤0時，xa在R++上是凸函式；當0≤a≤1時，xa在R++上是凹函式
• 絕對值冪函式。當p≥1時，函式|x|p在R上是凸函式。
• 對數函式。函式log
  (x)在R++上是凹函式。
• 負熵。函式xlog(x)是定義域上的凸函式。

　Rn上的一些例子

• 範數。Rn上任意範數為凸函式。

• 最大值函式。函式f(x)=max{x1,...,xn}在Rn上是凸的。

• 二次-線性分式函式。函式f(x,y)=x2/y，其定義域為d

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