全排列的生成演算法 對於給定的字符集，用有效的方法將所有可能的全排列無重複無遺漏地枚舉出來。 字典序法按照字典序求下一個排列的演算法。例 字符集{1,2,3},較小的數字較先,這樣按字典序生成的全排列是:123,132,213,231,312,321。注意 一個全排列可看做一個字串，字串可有字首、字尾。

生成給定全排列的下一個排列所謂一個全排列的下一個排列就是這一個排列與下一個排列之間沒有其他的排列。這就要求這一個排列與下一個排列有儘可能長的共同字首，也即變化限制在儘可能短的字尾上。例 839647521是1—9的排列。1—9的排列最前面的是123456789，最後面的是987654321，從右向左掃描若都是增的，就到了987654321，也就沒有下一個了。否則找出第一次出現下降的位置。

演算法: 由 P1P2…Pn 生成的下一個排列的演算法如下:1. 求 i=max{j| Pj-1<Pj}2. 求 l=max{k| Pi-1<Pk }3. 交換Pi-1 與Pl得到P1P2…Pi-1 (P i....Pn ) , 將紅色部分順序逆轉,得到結果. 例 求839647521的下一個排列1. 確定i，從左到右兩兩比較找出後一個數比前一個大的組合，在這裡有39 47，然後i取這些組中最到的位置號（不是最大的數）在這兩組數中7的位置號最大為6，所以i=62.確定l， 找出在i（包括i）後面的所有比i前面那一位大的數的最大的位置號，在此例中7，5 都滿足要求，則選5，5的位置號為7，所以 l=73. 先將4和5交換，然後將5後的四位數倒轉得到結果 839657421à 839651247，以上演算法是在數論課上老師給出的關於字典序全排列的生成演算法，以前也經常要用到全排列生成演算法來生成一個全排列對所有的情況進行測試。

每次都是現到網上找一個演算法，然後直接copy程式碼，修改一下和自己的程式相容就行了，也不看是怎麼來的，不是我不想看，實在是說的很抽象，那一大堆公式來嚇人，一個例項都不給，更有甚者連演算法都沒有，只是在那裡說，想看都看不懂，也沒那個耐心取理解那些人寫出來的那種讓人無法忍受的解釋。不過在說別人的同時我也知道，自己寫的也不夠好，不過這就是我的理解了，沒法子寫的再細了。

1、字典序法
2、遞增進位數製法
3、遞減進位數製法
4、鄰位交換法
5、n進位製法
6、遞迴類演算法

1.字典序法
字典序法中，對於數字1、2、3......n的排列，不同排列的先後關係是從左到右逐個比較對應的數字的先後來決定的。例如對於5個數字的排列 12354和12345，排列12345在前，排列12354在後。按照這樣的規定，5個數字的所有的排列中最前面的是12345，最後面的是 54321。
字典序演算法如下：
設P是1～n的一個全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn
1）從排列的右端開始，找出第一個比右邊數字小的數字的序號j（j從左端開始計算），即   j=max{i|pi<pi+1}
2）在pj的右邊的數字中，找出所有比pj大的數中最小的數字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右邊的數從右至左是遞增的，因此k是所有大於pj的數字中序號最大者）
3）對換pi，pk 
4）再將pj+1......pk-1pkpk+1pn倒轉得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，這就是排列p的下一個下一個排列。
例如839647521是數字1～9的一個排列。從它生成下一個排列的步驟如下： 
自右至左找出排列中第一個比右邊數字小的數字4          839647521
在該數字後的數字中找出比4大的數中最小的一個5        839647521
將5與4交換                                                                         839657421
將7421倒轉                                                                          839651247
所以839647521的下一個排列是839651247。

2.遞增進位數製法
在遞增進位制數法中，從一個排列求另一個排列需要用到中介數。如果用 ki表示排列p1p2...pi...pn中元素pi的右邊比pi小的數的個數，則排列的中介數就是對應的排列k1 ...... ki...... kn-1。
例如排列839647521的中介數是72642321，7、2、6、......分別是排列中數字8、3、9、......的右邊比它小的數字個數。
中介數是計算排列的中間環節。已知一個排列，要求下一個排列，首先確定其中介數，一個排列的後繼，其中介數是原排列中介數加1，需要注意的是，如果中介數 的末位kn-1+1=2，則要向前進位，一般情形，如果ki+1=n-i+1，則要進位，這就是所謂的遞增進位制。例如排列839647521的中介數是 72642321，則下一個排列的中介數是67342221+1=67342300（因為1+1=2，所以向前進位，2+1=3，又發生進位，所以下一個 中介數是67342300）。
得到中介數後，可根據它還原對應得排列。演算法如下：
中介數k1、k2、......、kn-1的各位數字順序表示排列中的數字n、n-1、......、2在排列中距右端的的空位數，因此，要按k1、 k2、......、kn-1的值從右向左確定n、n-1、......、2的位置，並逐個放置在排列中：i放在右起的ki+1位，如果某位已放有數字， 則該位置不算在內，最後一個空位放1。
因此從67342300可得到排列849617523，它就是839647521的後一個排列。因為9最先放置，k1=6，9放在右起第7位，空出6個空位，然後是放8，k2=7，8放在右起第8位，但9佔用一位，故8應放在右起第9位，餘類推。

3.遞減進位制數法
在遞增進位制數法中，中介數的最低位是逢2進1，進位頻繁，這是一個缺點。把遞增進位制數翻轉,就得到遞減進位制數。 
839647521的中介數是67342221(k1k2…kn-1)，倒轉成為12224376(kn-1…k2k1)，這是遞減進位制數的中介數： ki(i=n-1,n-2,…,2)位逢i向ki-1位進1。給定排列p，p的下一個排列的中介數定義為p的中介數加1。例如p=839647521，p 的中介數為12224376，p的下一個排列的中介數為12224376+1=12224377，由此得到p的下一個排列為893647521。
給定中介數，可用與遞增進位制數法類似的方法還原出排列。但在遞減進位制數中，可以不先計算中介數就直接從一個排列求出下一個排列。具體演算法如下：
1）如果p(i)=n且i<>n，則p(i)與p(i-1)交換
2）如果p(n)=n，則找出一個連續遞減序列9、8、......、i，將其從排列左端刪除，再以相反順序加在排列右端，然後將i-1與左邊的數字交換
例如p=893647521的下一個排列是983647521。求983647521的下一個排列時，因為9在最左邊且第2位為8，第3位不是7，所以將 8和9從小到大排於最右端364752189，再將7與其左方數字對調得到983647521的下一個排列是367452189。又例如求 987635421的下一個排列，只需要將9876從小到大排到最右端並將5與其左方數字3對調，得到534216789。

4.鄰位對換法
鄰位對換法中下一個排列總是上一個排列某相鄰兩位對換得到的。以4個元素的排列為例，將最後的元素4逐次與前面的元素交換，可以生成4個新排列：
1 2 3 4   1 2 4 3   1 4 2 3   4 1 2 3
然後將最後一個排列的末尾的兩個元素交換，再逐次將排頭的4與其後的元素交換，又生成四個新排列：
   4 1 3 2   1 4 3 2   1 3 4 2   1 3 2 4
再將最後一個排列的末尾的兩個元素交換，將4從後往前移：
3 1 2 4   3 1 4 2   3 4 1 2 4 3 1 2
如此迴圈既可求出全部排列。

5.元素增值法（n進製法）
1）從原始排列p=p1p2......pn開始，第n位加n-1，如果該位的值超過n，則將它除以n，用餘數取代該位，並進位（將第n-1位加1）
2）再按同樣方法處理n-1位，n-2位，......，直至不再發生進位為止，處理完一個排列就產生了一個新的排列
3）將其中有相同元素的排列去掉
4）當第一個元素的值>n則結束
以3個數1、2、3的排列為例：原始排列是1   2   3，從它開始，第3個元素是3，3+2=5，5 Mod 3=2，第2個元素是2，2+1=3，所以新排列是1 3 2。通過元素增值，順序產生的排列是：1   2   3，1   3   2，2   1   1，2   1   3，2   2   2，2   3   1，2   3   3，3   1   2，3   2   1
有下劃線的排列中存在重複元素，丟棄，餘下的就是全部排列。

6.遞迴類演算法
全排列的生成方法用遞迴方式描述比較簡潔，實現的方法也有多種。
1）回溯法
回溯法通常是構造一顆生成樹。以3個元素為例；樹的節點有個資料，可取值是1、2、3。如果某個為0，則表示尚未取值。
初始狀態是(0，0，0)，第1個元素值可以分別挑選1，2，3，因此擴展出3個子結點。用相同方法找出這些結點的第2個元素的可能值，如此反覆進行，一旦出現新結點的3個數據全非零，那就找到了一種全排列方案。當嘗試了所有可能方案，即獲得了問題的解答。

2）遞迴演算法
如果用P表示n個元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上字首i的排列，那麼，n個元素的排列可遞迴定義為：
如果n=1，則排列P只有一個元素i
如果n>1，則排列P由排列(i)Pi構成（i=1、2、....、n-1）。
根據定義，容易看出如果已經生成了k-1個元素的排列，那麼，k個元素的排列可以在每個k-1個元素的排列Pi前新增元素i而生成。例如2個元素的排列是 1   2和2 1，對與個元素而言，p1是2   3和3   2，在每個排列前加上1即生成1 2 3和1 3 2兩個新排列，p2和p3則是1   3、3   1和1   2、2   1，按同樣方法可生成新排列2 1 3、2 3 1和3 1 2、3 2 1。

3）迴圈移位法
如果已經生成了k-1個元素的排列，則在每個排列後新增元素k使之成為k個元素的排列，然後將每個排列迴圈左移（右移），每移動一次就產生一個新的排列。
例如2個元素的排列是1 2和2 1。在1 2 後加上3成為新排列1 2 3，將它迴圈左移可再生成新排列2 3 1、3 1 2，同樣2 1 可生成新排列2 1 3、1 3 2和3 2 1。

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