基本概念

• 定義1：

  割點集合：點集V′∈V,若G刪除了V′後不連通，但刪除了V′的任意真子集後G仍然連通，則稱V′為割點集合

  割點：若某一結點就構成了割點集合，那麼稱此結點為割點或關節點。

  點連通度：點數最少的割點集合

  割邊集合：邊集E′∈E,若G刪除了E′後不連通，但刪除了E′的任意真子集後G仍然連通，則稱E′為割邊集合

  割邊：若某一結點就構成了割邊集合，那麼稱此邊為割邊或橋或關節邊。

  邊連通度：邊數最少的割邊集合

  塊：沒有割點的極大連通子圖

• 定義2：

  如果一個無向連通圖的點連通度大於1，則稱該圖是點雙連通的，簡稱雙連通

  。通俗來說就是不存在割點。

  如果一個無向連通圖的邊連通度大於1，則稱該圖是邊雙連通的，也簡稱雙連通。通俗來說就是不存在割邊。

  可以看出，點雙連通與邊雙連通都可以簡稱為雙連通，它們之間是有著某種聯絡的。(雙連通圖一定既是點雙連通的又是邊雙連通的)

• 定義3：

  在圖G的所有子圖G′中，如果G′是雙連通的，則稱G′為雙連通子圖。如果一個雙連通子圖G′它不是任何一個雙連通子圖的真子集，則G′為極大雙連通子圖。

  雙連通分量，就是圖的極大雙連通子圖。特殊的，點雙連通分支又叫做塊。

tarjan演算法求割點和橋

tarjan演算法求解雙連通分量的做法和求解有向圖的強連通分量做法類似。

• 點雙連通分量

  求點雙連通分量也就是去找割點

  在dfs搜尋樹中，如果點k滿足下列兩個條件之一，那麼k是割點：

  1. k 為深搜樹的根，且 k 的兒子個數≥2
  2. k 為深搜樹的中間節點（k 既不是根也不是葉），且low[son]>=dfn[k]

  第一個條件很好理解，第二個條件son表示k的兒子，這句話的意思也就是說k的子孫中不會有某個點有追溯到k的祖先的邊。

  這樣，對於求點連通分量演算法中low值的嚴格定義將更新為：

  low(u)=Min
  {
  ​ dfn(u)
  ​ low[v] v是u 的一個兒子
  ​ dfn[v] v與u鄰接，且邊（u,v）是一條返祖邊
  }

  演算法具體細節見程式碼：

  void tarjan(int p,int u)
  {
      dfn[u] = low[u] = ++ti; // 時間戳
      int son = 0; // 當前節點兒子的個數
      for (k=head[u]; k!=-1; k=edge[k].next) //前向星實現
      {
          int v = edge[k].to;
          if (v == p)
              continue;
          if (dfn[v] == 0)
          {
              son++;
              tarjan(u,v);
              if (low[v] < low[u])
                  low[u] = low[v];
              if((u!=1 && dfn[u]<=low[v]) || (u==1&&son>=2))
                  istcc[u]=1; // 條件符合，u是割點
          }
          else
              low[u] = min(low[u],dfn[v]);
      }
  }

• 邊雙連通分量

  求邊雙連通分量也就是去找割邊

  割邊的求解過程和求割點的方法類似，判斷方法是：

  無向圖中的一條邊（u,v）是割邊，當且僅當（u,v）是生成樹中的邊，且滿足dfn[u]<low[v]。

  找到一條割邊就將割邊下面的邊連通分量出棧。

  stack<int> St;
  void Tarjan(int p,int u)
  {
        dfn[u]=low[u]=++ti;
        St.push(u);
        vis[u]=1;
        for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next)
        {
              int v=edge[k].v;
              if(v==p)continue;
              if(!dfn[v])
              {
                  Tarjan(u,v);
                  low[u]=min(low[u],low[v]);
                  if(low[v] > dfn[u]){  
                      cnt_bri++;//雙聯通分量塊的個數，多一個橋即多一個雙聯通分量  
              }
              else// if(vis[v]==1)//v在棧中，說明(u,v)是返祖邊
              {
                  low[u]=min(low[u],dfn[v]);
              }
          }
        if(dfn[u]==low[u])//將u所在的邊連通分量出棧
        {
             int x;
             ++cnt;//cnt表示縮點後的連通分量
             while(1)
             {
                   x=St.top();
                   St.pop();
                   vis[x]=0;
                   belong[x]=cnt;
                   if(x==u)break;
             }
        }
  }