dijkstra求最短路徑長度
阿新 • • 發佈：2019-02-12
概述
dijkstra演算法是單源最短路徑演算法的一種。
所謂單源，即在一個有向圖中，從一個節點出發，演算法可求該節點至所有可到達節點的最短路徑長度。與之相對的稱為非單源最短路，即演算法執行一次可求出任意節點至任意可到達節點的最短路長度，其代表是floyd演算法。單源最短路有兩種常見演算法，dijkstra演算法和bellman-ford演算法。前者只能用於求路徑權值全部為非負數的最短路，但後者是可以求邊權中出現負數的演算法。既然非單源一次可以求出任意節點間的最短路，我們為什麼還要使用單源演算法呢？
因為floyd的時間複雜度為O(n^3)，而dijkstra只有O(n^2)。如果要求出任意節點間的最短路，那麼兩個演算法似乎都是O(n^3)，然而floyd似乎更好理解。
dijkstra演算法描述：
設G=（V，E）是一個有向圖，V表示頂點，E表示邊；它的每一條邊（i，j）屬於E，都有一個非負權W（i，j）；在G中指定一個結點V0，要求求出從V0到G的每一個節點Vj（Vj屬於V）的最短路徑長度。
舉例
根據下圖，求從節點0開始到各節點的最短距離：
配合圖中右邊的過程：
- 首先我們先將從節點0出發的所有路徑長度標記為無窮大。
- 由於從節點0出發，故更新從節點0到其直接相鄰節點的路徑長度，0->1:10，0->3:30，0->4:100。
- 取出其中最小的0->1:10，並且我們已經清楚0->1的距離已經是最短的了。
解釋：從0到1無非兩種走法，0直接到達1或0通過其他節點到達1。現在0到1的距離為10，其已小於0到其餘節點的距離，即0->C->1=（30或100）+C->1，0->C->1已經不可能小於現在的0->1了，故現在的0->1已經是最短的，不可能有更短的0->1。
接著我們看下從節點1到其餘節點的路徑，明顯有一條1->2:50，通過1->2可以產生0->1->2:60這條路徑，該路徑長度遠小於現在表裡的0->2為無窮大，故更新0->2:60。 - 接下來取出表裡最小且沒有使用過的值，0->3:30。同理，從節點3到節點2、4有直接的路徑，得出0->3->2:50，其小於表中的0->2:60，故更新；0->3->4:90，其小於表中的0->4:100，故更新。
- 到此時，0->1:10，0->2:50，0->3:30，0->4:90，其中節點0、1、3已經被使用過，所以下面我們取出表裡的最小且沒有使用過的值，0->2:50。同理，節點2到4有一條直接路徑，0->2->4:100，但其大於表中的0->4:90，故不更新。
演算法步驟
步驟一：初始路徑長度均為無窮大，將出發節點作為節點B和A。
步驟二：找到A節點射出的路徑，將A節點作為中途節點，C為任意節點。當B->A->C<B->C，更新表中B->C的長度。
步驟三：從表中選出最小且未作為過A節點的值，將其對應的節點作為A；重複步驟二，直至所有節點均被作為過A節點。
程式碼實現
根據上圖的例子，給出對應的演算法，求解從節點0到各節點的最短路長度：
#include<stdio.h>
const int N=100;
const int INF=100000; //INF假定為無窮大
int p[N][N],d[N]; //p表示各節點間的距離，不存在路徑即為無窮大；d表示從出發節點到各節點的最短路徑長度
void dijkstra(int sec,int n) //sec為出發節點，n為圖中的節點數
{
int i,j,min,min_num;
int vis[N]={0,}; //用於標記是否已作為過中途節點，0表示沒有，1表示有
for(i=0;i<n;i++) //初始化
{
d[i]=p[sec][i];
}
vis[sec]=1;d[sec]=0; //出發節點到自己的距離永遠為0
for(i=1;i<n;i++)
{
min=INF;
for(j=0;j<n;j++) //每次迴圈取出d陣列中的未被作為過中途節點且數值最小的
{
if(!vis[j]&&d[j]<min)
{
min=d[j]; //更新最小值
min_num=j; //更新最小值所對應的節點，即記錄下標
}
}
vis[min_num]=1; //標記該節點，表示其已被作為中途節點
for(j=0;j<n;j++) //迴圈，經過min_num節點到達是否有更小距離，如有更小距離則更新d陣列
{
if(d[j]>min+p[min_num][j])
{
d[j]=min+p[min_num][j];
}
}
}
}
int main()
{
int i,j,n=5; //n表示圖中的節點個數
for(i=0;i<n;i++) //程式用二維陣列p儲存各節點間的距離，這裡則進行初始化
{
for(j=0;j<n;j++)
{
p[i][j]=(i==j?0:INF); //初始化：i到j路徑為無窮大或者i到i本身為0
}
}
p[0][1]=10;p[0][3]=30;p[0][4]=100;p[1][2]=50;p[2][4]=50;p[3][2]=20;p[3][4]=60; //p[i][j]表示節點i到節點j的距離
dijkstra(0,n); //求從節點0出發到各節點的最短距離
for(i=0;i<n;i++) //列印從節點0出發到各節點的最短距離
{
printf(i==n-1?"%d\n":"%d ",d[i]);
}
return 0;
}記錄路徑
如何在求最短路長度的同時記錄路徑呢？可以看這篇部落格“dijkstra求最短路並記錄路徑”