整理：卷積的直觀理解、物理意義與本質（二）
阿新 • • 發佈：2019-02-12
資料探勘中有時需要卷積這一數學工具(例如計算個體適應度、物件間距離,以及干預效果等等），昨天又有同學問到相關問題，借用最近在網上的滾燙的詞彙集 { 輻射，服碘，補鹽，空襲 }，對卷積做了一個直觀的解釋。反饋還算滿意，又在過去講課的PPT中取些素材，改寫成了這篇博文。
幼童背古詩文的感覺，來自數學系的同學覺得卷積是小菜一碟，隨手就寫出卷積定義
F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ (積分限從-∞ 到+∞)
並指出這是含參積分，t是引數，覺得淺而又顯，無須解釋。而部分（例如來自工科和醫學專業的）選修資料探勘的學生，還是覺得稍有點難，說：相關公式能默寫、能推導、能通過考試，自己還是覺得不踏實，覺得沒有真正理解；發明者是怎樣想出來的？有何直觀背景？用在哪些場合？
一言以蔽之，在邏輯上認可，而直觀上迷茫。好像很小的時候背誦古詩文那種感覺。
鑑於數學老師已經講解過理論推導，作為一種補充，這裡用生活例項做一些直觀解釋，給出一個大框架和物理直觀，為敘述簡單，忽略一些細節。需要說明，直觀的解釋僅用於輔助理解，不能取代嚴格的描述和證明。
輻射：設某核電站事故中，某工作人員每天到搶險現場工作T分鐘，接受一定劑量的輻射，輻射會自然地衰減，如此工作N天，總的輻射量用什麼計算工具來（粗略地）估計？回答：可以用卷積。
服碘：某人為了防輻射，自己找來碘片，每天口服若干，體內碘殘量會隨人體代謝衰減，N天后體內積累的碘殘量如何（粗略地）估計？還是卷積；（後面科普部分將給出簡單的推導過程）；
補鹽：某人為了反輻射，搶購來碘鹽，每餐口服若干，體內鹽殘量會隨人體代謝衰減。N天后體內積累的鹽量和碘殘量如何（粗略地）估計？可以用卷積；
空襲：某多國部隊每隔N小時對桀驁不馴的某地區或國家實行間歇性空中打擊，每次打擊後，其物理破壞和心理震懾作用會隨時間衰減（例如，被打方會組織搶修，心裡承受度增加等等），如此進行M天后，累積的打擊總效果如何（粗略地）估計？還是可以用卷積。
還有其他例子，如長期服藥的血藥濃度，長期吸入汙染物在人體內的積累，吸菸或喝咖啡的積累效應，多次噴灑農藥的殘留量，等等，也可以用卷積來估計。
上面的有些例子可能不很貼切，有幾個原因：，
(a)卷積是積分運算，處理物件要求是可以積分的函式，在工程中，一般對應於連續現象而不是離散物件；把離散物件當做連續的現象處理，只能粗略估計。
(b)社會問題，政治問題比較複雜，即使加上很多假定，也只是框架性的估算。
但是，有計算、有依據的估計總比算命先生的神仙數字可信。
難懂之因
這不是當年發明卷積的大師們的“需求–猜想—發現—證明—應用”的路徑，大師們建設好“卷積”大廈後，為了數學美，拆卸了腳手架，現在人們看到的是煉成的鋼鐵，看不出鋼鐵是怎樣煉成的。造成了部分非數學專業學生的一個難點。 一次輸液引出的班門弄斧 一次偶感風寒，服藥未愈，轉作靜脈滴注，無聊地望著那藥液慢騰騰地滴，忽然靈感一閃：
（1）這是一個可離散觀察的連續過程。透明玻璃管構成了視覺化的介面，能離散地對藥滴計數，而下面是相對穩定的液柱高度，保證了藥液連續（有點脈動）地注入靜脈，比較適合積分處理；（口服和注射，就相對離散，結果就更粗略一些）。
（2）藥動學有個術語血藥濃度，怎樣來保證血藥濃度在安全閾值之下，又在有效閾值之上呢？
立刻在草稿本上寫劃，哇噻，原來可以用卷積！而且只需要簡單的積分知識。於是，對此常問難點，有了一個易懂的直觀解釋。正是：小恙滴注，焉知非福？
下面將敘述這次雙重的（數學與醫學）的班門弄斧，疏漏之處，請專家指正。
靜脈滴注與體內藥物濃度
從t=0開始，每隔τ秒，輸入藥物一次（離散化是為了簡單）；藥量隨時間變化， 在時刻t時的那次給藥量為f(t)，關注的時刻點為 t=0, τ，2τ，3τ，…
一滴藥液的在體內衰減規律 藥物以多種方式代謝(衰減)，按假設，在τ1時的那滴藥液含藥量f(τ1)，當時間流逝到t時刻，假設那一滴藥物在體內的殘量是f(τ1)* g(t，τ1)，其中g(t，τ1)稱為衰減因子函式，怎麼找出衰減因子的具體結構呢？ 藥動學中有兩種衰減方式 ： (a)零級動力學消除，即恆速消除，如乙醇血濃>0.05 mg/ml時，較簡單； (b)一級動力學消除，即恆比消除，消除速度與血藥濃度成正比，如乙醇血濃<0.05 mg/ml時的衰減規律，這也類似於簡單熱傳導中散熱速度與溫差成正比。 設在τ時刻 ，輸入一滴藥，藥量為f(τ)， 根據一級動力學消除，建立最簡單的微分方程 ； dg/dt =-kg 考慮t=τ時不衰減的初始條件，容易求得 g=e-k(t-τ) ， 為下面方便，把衰減因子改寫為 g(t-τ)= e-k(t-τ) 於是，在τ>0時,給藥一次，藥量為f(τ)， 當t為2τ時，血藥濃度降到 f(τ)*g(t-τ)= f(τ)*g(τ)= f(τ)(1/ek ) 當t為3τ時，血藥濃度降到 f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(2τ)= f(τ)(1/e2k ) 當t為4τ時，血藥濃度降到 f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(3τ)= f(τ)(1/e3k ) 可見，只給藥一滴，血藥濃度衰減很快，難以治療那種要與病毒或細菌打持久戰的疾病。 多次密集給藥 或連續給藥 用τ置換讓上面的T，讓τ動起來，令τ依次取τ1, τ2,….. τn ，則N多次密集給藥後，當時間流逝到t時的血藥濃度是 ∑j f(τj)*g(t-τj) ( 對 j=1,2,….. n 求和） 前面說過，靜脈滴注是一個可離散觀察的連續過程。，所以，上面的和式可寫為積分形式，即卷積 F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 曲線光滑工具 當f(τ)是脈衝函式時（例如考察一滴藥引發的血藥濃度），曲線顯得不夠光滑，而卷積F(t)是多次脈衝的（平均）累積效應，或可視為是一種加權平均，所以，F(t)的曲線就光滑一些，所以，醫生要考察N小時的滴注效果，而不察幾分鐘或一滴藥的效果。選擇適當的g(t-τ)函式，（例如，3/2次方衰減型、平方衰減性、指數衰減型、週期兼指數衰減型，...），可用卷積作為突出不同加權方式的曲線光滑工具。 比較光滑、不是陡升陡降的血藥濃度曲線表明，靜脈滴注能較好地控制血藥濃度；這大概也是有些醫生和病人喜歡它的原因；當然，如果過分依賴靜脈滴注，則減少了免疫系統的鍛鍊機會，所以很多醫生主張，如果服藥能解決問題，就不要滴注。 更多的應用例項 卷積的結果可輔助人們定量地協調脈動式輸入 f(τ) 和 衰減g(t-τ) 這一對矛盾，使得累積效應F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 在控制範圍內。 例如，研究干預規則，（例如，葉酸干預新生兒腦畸形缺陷），干預為f(τ)，複雜的衰減g(t-τ)，總的干預效果可否用卷積來粗略描述？
再例如，制定正確的給藥劑量和週期，例如照醫囑攝入碘或鹽；
又例如，制定空中打擊方案的強度和頻度，常識告訴人們，足夠的強度和密度才能有效打擊。卷積作為工具，或許可定量計算出最經濟打擊強度和密度。而被打擊的一方，可計算出足夠的衰減因子，使得能在被轟炸後有效恢復；戰爭是鐵血與智慧的較量，當雙方的鐵與血差不多時，如《孫子.計篇》所說，“多算勝，少算不勝”，而卷積只不過在眾多的計算方法基礎上，增加了一個演算法，僅此而已, 最近，在這個不平靜的世界上，有一場空襲和反空襲的較量，不知持續多久？10天，100天，還是200天？研究軍事的專家或許可用卷積做個模型。 武俠小說中，有時候看見一方逐步投入兵力，使用添油戰術，好像是多次服藥，每次都沒有服夠量，血藥濃度低於有效門限。被逐次殲滅。 卷積並不神祕，它有其退化版，例如水池一面進水，一面放水，求瞬時水量。當進水勻速且放水速度服從零級或一級動力學消除規律時，偶爾也作為中小學生的數學奧賽題，基礎好的聰明學生能用初等方法計算。但當進水是1+sin(t)這樣的脈動函式，或更復雜的函式時，就只能用卷積了。 卷積是一個老技術，對某些專業的學生是一個難點，“老技術+新講法+直觀解釋”使其容易被初學者接受。這裡要強調，直觀解釋不能取代嚴格的數學推理，這裡的班門弄斧。不能取代數學老師的正規訓練。。
幼童背古詩文的感覺，來自數學系的同學覺得卷積是小菜一碟，隨手就寫出卷積定義
F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ (積分限從-∞ 到+∞)
並指出這是含參積分，t是引數，覺得淺而又顯，無須解釋。而部分（例如來自工科和醫學專業的）選修資料探勘的學生，還是覺得稍有點難，說：相關公式能默寫、能推導、能通過考試，自己還是覺得不踏實，覺得沒有真正理解；發明者是怎樣想出來的？有何直觀背景？用在哪些場合？
一言以蔽之，在邏輯上認可，而直觀上迷茫。好像很小的時候背誦古詩文那種感覺。
鑑於數學老師已經講解過理論推導，作為一種補充，這裡用生活例項做一些直觀解釋，給出一個大框架和物理直觀，為敘述簡單，忽略一些細節。需要說明，直觀的解釋僅用於輔助理解，不能取代嚴格的描述和證明。
輻射：設某核電站事故中，某工作人員每天到搶險現場工作T分鐘，接受一定劑量的輻射，輻射會自然地衰減，如此工作N天，總的輻射量用什麼計算工具來（粗略地）估計？回答：可以用卷積。
服碘：某人為了防輻射，自己找來碘片，每天口服若干，體內碘殘量會隨人體代謝衰減，N天后體內積累的碘殘量如何（粗略地）估計？還是卷積；（後面科普部分將給出簡單的推導過程）；
補鹽：某人為了反輻射，搶購來碘鹽，每餐口服若干，體內鹽殘量會隨人體代謝衰減。N天后體內積累的鹽量和碘殘量如何（粗略地）估計？可以用卷積；
空襲：某多國部隊每隔N小時對桀驁不馴的某地區或國家實行間歇性空中打擊，每次打擊後，其物理破壞和心理震懾作用會隨時間衰減（例如，被打方會組織搶修，心裡承受度增加等等），如此進行M天后，累積的打擊總效果如何（粗略地）估計？還是可以用卷積。
還有其他例子，如長期服藥的血藥濃度，長期吸入汙染物在人體內的積累，吸菸或喝咖啡的積累效應，多次噴灑農藥的殘留量，等等，也可以用卷積來估計。
上面的有些例子可能不很貼切，有幾個原因：，
(a)卷積是積分運算，處理物件要求是可以積分的函式，在工程中，一般對應於連續現象而不是離散物件；把離散物件當做連續的現象處理，只能粗略估計。
(b)社會問題，政治問題比較複雜，即使加上很多假定，也只是框架性的估算。
但是，有計算、有依據的估計總比算命先生的神仙數字可信。
難懂之因
這不是當年發明卷積的大師們的“需求–猜想—發現—證明—應用”的路徑，大師們建設好“卷積”大廈後，為了數學美，拆卸了腳手架，現在人們看到的是煉成的鋼鐵，看不出鋼鐵是怎樣煉成的。造成了部分非數學專業學生的一個難點。 一次輸液引出的班門弄斧 一次偶感風寒，服藥未愈，轉作靜脈滴注，無聊地望著那藥液慢騰騰地滴，忽然靈感一閃：
（1）這是一個可離散觀察的連續過程。透明玻璃管構成了視覺化的介面，能離散地對藥滴計數，而下面是相對穩定的液柱高度，保證了藥液連續（有點脈動）地注入靜脈，比較適合積分處理；（口服和注射，就相對離散，結果就更粗略一些）。
（2）藥動學有個術語血藥濃度，怎樣來保證血藥濃度在安全閾值之下，又在有效閾值之上呢？
立刻在草稿本上寫劃，哇噻，原來可以用卷積！而且只需要簡單的積分知識。於是，對此常問難點，有了一個易懂的直觀解釋。正是：小恙滴注，焉知非福？
下面將敘述這次雙重的（數學與醫學）的班門弄斧，疏漏之處，請專家指正。
靜脈滴注與體內藥物濃度
從t=0開始，每隔τ秒，輸入藥物一次（離散化是為了簡單）；藥量隨時間變化， 在時刻t時的那次給藥量為f(t)，關注的時刻點為 t=0, τ，2τ，3τ，…
一滴藥液的在體內衰減規律 藥物以多種方式代謝(衰減)，按假設，在τ1時的那滴藥液含藥量f(τ1)，當時間流逝到t時刻，假設那一滴藥物在體內的殘量是f(τ1)* g(t，τ1)，其中g(t，τ1)稱為衰減因子函式，怎麼找出衰減因子的具體結構呢？ 藥動學中有兩種衰減方式 ： (a)零級動力學消除，即恆速消除，如乙醇血濃>0.05 mg/ml時，較簡單； (b)一級動力學消除，即恆比消除，消除速度與血藥濃度成正比，如乙醇血濃<0.05 mg/ml時的衰減規律，這也類似於簡單熱傳導中散熱速度與溫差成正比。 設在τ時刻 ，輸入一滴藥，藥量為f(τ)， 根據一級動力學消除，建立最簡單的微分方程 ； dg/dt =-kg 考慮t=τ時不衰減的初始條件，容易求得 g=e-k(t-τ) ， 為下面方便，把衰減因子改寫為 g(t-τ)= e-k(t-τ) 於是，在τ>0時,給藥一次，藥量為f(τ)， 當t為2τ時，血藥濃度降到 f(τ)*g(t-τ)= f(τ)*g(τ)= f(τ)(1/ek ) 當t為3τ時，血藥濃度降到 f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(2τ)= f(τ)(1/e2k ) 當t為4τ時，血藥濃度降到 f(τ)*g(t-τ) = f(τ)*g(3τ)= f(τ)(1/e3k ) 可見，只給藥一滴，血藥濃度衰減很快，難以治療那種要與病毒或細菌打持久戰的疾病。 多次密集給藥 或連續給藥 用τ置換讓上面的T，讓τ動起來，令τ依次取τ1, τ2,….. τn ，則N多次密集給藥後，當時間流逝到t時的血藥濃度是 ∑j f(τj)*g(t-τj) ( 對 j=1,2,….. n 求和） 前面說過，靜脈滴注是一個可離散觀察的連續過程。，所以，上面的和式可寫為積分形式，即卷積 F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 曲線光滑工具 當f(τ)是脈衝函式時（例如考察一滴藥引發的血藥濃度），曲線顯得不夠光滑，而卷積F(t)是多次脈衝的（平均）累積效應，或可視為是一種加權平均，所以，F(t)的曲線就光滑一些，所以，醫生要考察N小時的滴注效果，而不察幾分鐘或一滴藥的效果。選擇適當的g(t-τ)函式，（例如，3/2次方衰減型、平方衰減性、指數衰減型、週期兼指數衰減型，...），可用卷積作為突出不同加權方式的曲線光滑工具。 比較光滑、不是陡升陡降的血藥濃度曲線表明，靜脈滴注能較好地控制血藥濃度；這大概也是有些醫生和病人喜歡它的原因；當然，如果過分依賴靜脈滴注，則減少了免疫系統的鍛鍊機會，所以很多醫生主張，如果服藥能解決問題，就不要滴注。 更多的應用例項 卷積的結果可輔助人們定量地協調脈動式輸入 f(τ) 和 衰減g(t-τ) 這一對矛盾，使得累積效應F(t)= ∫ f(τ)g(t-τ)dτ 在控制範圍內。 例如，研究干預規則，（例如，葉酸干預新生兒腦畸形缺陷），干預為f(τ)，複雜的衰減g(t-τ)，總的干預效果可否用卷積來粗略描述？
再例如，制定正確的給藥劑量和週期，例如照醫囑攝入碘或鹽；
又例如，制定空中打擊方案的強度和頻度，常識告訴人們，足夠的強度和密度才能有效打擊。卷積作為工具，或許可定量計算出最經濟打擊強度和密度。而被打擊的一方，可計算出足夠的衰減因子，使得能在被轟炸後有效恢復；戰爭是鐵血與智慧的較量，當雙方的鐵與血差不多時，如《孫子.計篇》所說，“多算勝，少算不勝”，而卷積只不過在眾多的計算方法基礎上，增加了一個演算法，僅此而已, 最近，在這個不平靜的世界上，有一場空襲和反空襲的較量，不知持續多久？10天，100天，還是200天？研究軍事的專家或許可用卷積做個模型。 武俠小說中，有時候看見一方逐步投入兵力，使用添油戰術，好像是多次服藥，每次都沒有服夠量，血藥濃度低於有效門限。被逐次殲滅。 卷積並不神祕，它有其退化版，例如水池一面進水，一面放水，求瞬時水量。當進水勻速且放水速度服從零級或一級動力學消除規律時，偶爾也作為中小學生的數學奧賽題，基礎好的聰明學生能用初等方法計算。但當進水是1+sin(t)這樣的脈動函式，或更復雜的函式時，就只能用卷積了。 卷積是一個老技術，對某些專業的學生是一個難點，“老技術+新講法+直觀解釋”使其容易被初學者接受。這裡要強調，直觀解釋不能取代嚴格的數學推理，這裡的班門弄斧。不能取代數學老師的正規訓練。。