DAG建模基礎；

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題意

n種長方體，各有無限個。可以橫豎側擺放。只有一個長方形的底面，長小於且寬小於令一個底面才可以疊在上面。問最多疊多高？

數據範圍：$n \leq 30$

Solution

建模

將木塊的6種狀態（不是3種）作為不同物體考慮。若a能在b下面，那麽連一條a->b的邊，權值為b的高。至於第一塊的高，考慮使用虛擬點。

求最長

已經將所有可能情況歸結在圖中了。顯然這個圖一定無環。所以利用DAG的性質，$O(n^2)$求最長路即可。

DAG求最長路的本質是DP。設$dp[i]$表示從$i$出發的最長路，由於不會有環，所以用所有$i$連出去的點進行轉移即可。換句話說這些連出去的點和$i$毫無關系，是個獨立的子問題。之所以叫它DP，是因為DAG裏是可以有重復的子問題的（樹就沒有）

透過題解看本質

何時利用圖建模

二元關系可以利用圖來建模。在這道題中，一塊木塊能否放在另一塊上面是一個二元關系。而在建模過程中，每一個木塊的狀態是唯一的，像這種木塊翻轉的應當看做兩種情況。

my code

註意有6種，而不是3種。底面的長寬也是需要交換的！！！

當然在代碼實現的過程中為了方便依然可以只存三種情況，因為底面長寬交換不影響高，所以可以以兩種狀態存在，至於放上來的木塊，只要橫豎以一種狀態能夠放上就可以。因為一塊木塊一旦放完，對於剩余的木塊它就是底，因此橫豎都無所謂。

/*By DennyQi 2019*/
#include <cstdio>
#include 
 
<queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 10010;
const int MAXM = 20010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
inline int Max(const int a, const int b){ return (a > b) ? a : b; }
inline int Min(const int a, const int b){ return
 
 (a < b) ? a : b; }
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register char c = getchar();
    for(; c ^ ‘-‘ && (c < ‘0‘ || c > ‘9‘); c = getchar());
    if(c == ‘-‘) w = -1, c = getchar();
    for(; c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘; c = getchar()) x = (x<<3) + (x<<1) + c - ‘0‘; return x * w;
}
struct Cuboid{
    int x,y,z;
}a[30001];
int n,N,Case,ans;
int first[30001],nxt[30001],to[30001],cost[30001],cnt,dp[30001],pre[30001];
bool vis[30001];
inline bool Nest(int i, int j){
    if((a[i].x>a[j].x && a[i].y>a[j].y) || (a[i].x>a[j].y && a[i].y>a[j].x)) return 1;
    return 0;
}
inline void add(int u, int v, int w){
    cost[++cnt] = w, to[cnt] = v, nxt[cnt] = first[u], first[u] = cnt;
} 
int Dfs(int u){
    if(vis[u]) return dp[u];
    vis[u] = 1;
    for(int i = first[u]; i; i = nxt[i]){
        if(Dfs(to[i]) + cost[i] > dp[u]){
            dp[u] = dp[to[i]] + cost[i];
            pre[u] = to[i];
        }
    }
    return dp[u];
}
int main(){
    while((N = read()) > 0){
        n = N*3;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(first,0,sizeof(first));
        for(int i = 1; i <= N; ++i){
            a[i].x = read(), a[i].y = read(), a[i].z = read();
            a[i+N].x = a[i].x, a[i+N].y = a[i].z, a[i+N].z = a[i].y;
            a[i+N*2].x = a[i].y, a[i+N*2].y = a[i].z, a[i+N*2].z = a[i].x;
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            add(n+1,i,a[i].z);
        }
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= n; ++j){
                if(i == j) continue;
                if(Nest(i,j)) add(i,j,a[j].z);
            }
        }
        ans = Dfs(n+1);
        ++Case;
        printf("Case %d: maximum height = %d\n",Case,ans);
    }
    return 0;
}

[UVa-437] The Tower of Babylon