湖南省第六屆大學生程式競賽--戰場的數目
題目I
戰場的數目
在上題中，假設戰場的圖形周長為p，一共有多少種可能的戰場？
例如，p<8時沒有符合要求的戰場，p=8時有2種戰場：
p=10有9種戰場：
要求輸出方案總數模987654321的值。
輸入
輸入檔案最多包含25組測試資料，每個資料僅包含一行，有一個整數p（1<=p<=109），表示戰場的圖形周長。p=0表示輸入結束，你的程式不應當處理這一行。
輸出
對於每組資料，輸出僅一行，即滿足條件的戰場總數除以987654321的餘數。
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樣例輸入 |
樣例輸出 |
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7 8 9 10 0 |
0 2 0 9 |
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這道題開始想著構建一個二維陣列，然後列舉。。不過2s後急忙否定了這個答案，因為周長《=1000000000
後來想那就遞迴，先找出一種情況，例如p=8時候戰場的形狀，再來遞迴下一種情況，也就是p=10的情況（加上一些方塊，使得周長+2，就看加上方塊的種類個數 也就變成了 f(10) = f(8) + h(8) h(8)代表可以加上幾種方塊。） 後來水平有限，也覺得稍稍複雜，就沒繼續想此方法，希望有高手能指教。
後來經群裡一大神提醒，立馬明白了這道題。
在說這道題之前，要說一下這道題目的限制條件。在上一題中，題目限制戰場不能為矩形，並且要考慮重力。也就是說不能堆出一些奇奇怪怪的戰場。
好，開始分析題目吧
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此題其實暗含規律，找到規律即可輕鬆解決。
規律如下：
先考慮矩形情況，也就是P=4時，有1種，P=6時，有2種
1.若戰場最左邊有高度為1的方塊，那麼若將此方塊減掉，則P-2。
2.若戰場最右邊有高度為1的方塊，那麼若將此方塊減掉，則P-2。
3.若戰場的最下層去掉，那麼P-2; (只減少左右兩邊的周長)
4.若戰場的左邊和右邊皆有高度為1的方塊，由於1.2情況包含此情況，因此要減去此情況。此時P-4.
那麼，得到的規律即為：f(p) = 3*f(p - 2) - f(p - 4) （p>4)
基於此規律 即可得到遞推公式 思路也就明確了。
在此使用矩陣快速冪，若不清楚，請參考：http://www.cnblogs.com/dongsheng/archive/2013/06/02/3114073.html
在此附上程式碼：
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=987654321;
ll A[2][2],B[2][2],T[2][2];
void pow(int n)
{
if(n==0)
{
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
B[i][j]=(i==j);
return;
}
if(n&1)
{
pow(n-1);
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
{
T[i][j]=0;
for(int k=0;k<2;k++)
T[i][j]=(T[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%mod;
}
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
{
B[i][j]=T[i][j];
}
}
else
{
pow(n/2);
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
{
T[i][j]=0;
for(int k=0;k<2;k++)
T[i][j]=(T[i][j]+B[i][k]*B[k][j])%mod;
}
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
{
B[i][j]=T[i][j];
}
}
}
int main()
{
int n;
A[0][0]=1; A[0][1]=1;
A[1][0]=1; A[1][1]=0;
while (scanf("%d", &n) == 1 && n)
{
ll ans=0;
if(n&1) ans=0;
else if(n<4) ans=0;
else
{
pow(n-4);
ans=B[0][0]-n/2+1;
ans%=mod;
if(ans<0)ans+=mod;
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}