判斷連結串列中是否有環 ----- 有關單鏈表中環的問題
給定一個單鏈表,判斷其中是否有環,已經是一個比較老同時也是比較經典的問題,在網上搜集了一些資料,
然後總結一下大概可以涉及到的問題,以及相應的解法。
首先,關於單鏈表中的環,一般涉及到一下問題:
1.給一個單鏈表,判斷其中是否有環的存在;
2.如果存在環,找出環的入口點;
3.如果存在環,求出環上節點的個數;
4.如果存在環,求出連結串列的長度;
5.如果存在環,求出環上距離任意一個節點最遠的點(對面節點);
6.(擴充套件)如何判斷兩個無環連結串列是否相交;
7.(擴充套件)如果相交,求出第一個相交的節點;
下面,我將針對上面這七個問題一一給出解釋和相應的程式碼。
1.判斷時候有環(連結串列頭指標為head)
對於這個問題我們可以採用“快慢指標”的方法。就是有兩個指標fast和slow,開始的時候兩個指標都指向連結串列頭head,然後在每一步
操作中slow向前走一步即:slow = slow->next,而fast每一步向前兩步即:fast = fast->next->next。
由於fast要比slow移動的快,如果有環,fast一定會先進入環,而slow後進入環。當兩個指標都進入環之後,經過一定步的操作之後
二者一定能夠在環上相遇,並且此時slow還沒有繞環一圈,也就是說一定是在slow走完第一圈之前相遇。證明可以看下圖:
當slow剛進入環時每個指標可能處於上面的情況,接下來slow和fast分別向前走即:
- if (slow != NULL && fast->next != NULL)
- {
- slow = slow -> next ;
- fast = fast -> next -> next ;
- }
兩者之間的距離逐漸縮小:...、5、4、3、2、1、0 -> 相遇。又因為在同一個環中fast和slow之間的距離不會大於換的長度,因此
到二者相遇的時候slow一定還沒有走完一週(或者正好走完以後,這種情況出現在開始的時候fast和slow都在環的入口處)。
下面給出問題1的完整程式碼:
- typedefstruct node{
- char data ;
- node * next ;
- }Node;
- bool exitLoop(Node *head)
- {
- Node *fast, *slow ;
- slow = fast = head ;
- while (slow != NULL && fast -> next != NULL)
- {
- slow = slow -> next ;
- fast = fast -> next -> next ;
- if (slow == fast)
- returntrue ;
- }
- returnfalse ;
- }
下面看問題2,找出環的入口點:
我結合著下圖講解一下:
從上面的分析知道,當fast和slow相遇時,slow還沒有走完連結串列,假設fast已經在環內迴圈了n(1<= n)圈。假設slow走了s步,則fast走了2s步,又由於
fast走過的步數 = s + n*r(s + 在環上多走的n圈),則有下面的等式:
2*s = s + n * r ; (1)
=> s = n*r (2)
如果假設整個連結串列的長度是L,入口和相遇點的距離是x(如上圖所示),起點到入口點的距離是a(如上圖所示),則有:
a + x = s = n * r; (3) 由(2)推出
a + x = (n - 1) * r + r = (n - 1) * r + (L - a) (4) 由環的長度 = 連結串列總長度 - 起點到入口點的距離求出
a = (n - 1) * r + (L -a -x) (5)
集合式子(5)以及上圖我們可以看出,從連結串列起點head開始到入口點的距離a,與從slow和fast的相遇點(如圖)到入口點的距離相等。
因此我們就可以分別用一個指標(ptr1, prt2),同時從head與slow和fast的相遇點出發,每一次操作走一步,直到ptr1 == ptr2,此時的位置也就是入口點!
到此第二個問題也已經解決。
下面給出示意性的簡單程式碼(沒有測試但是應該沒有問題):
- Node* findLoopStart(Node *head)
- {
- Node *fast, *slow ;
- slow = fast = head ;
- while (slow != NULL && fast -> next != NULL)
- {
- slow = slow -> next ;
- fast = fast -> next -> next ;
- if (slow == fast) break ;
- }
- if (slow == NULL || fast -> next == NULL) return NULL ; //沒有環,返回NULL值
- Node * ptr1 = head ; //連結串列開始點
- Node * ptr2 = slow ; //相遇點
- while (ptr1 != ptr2)
- {
- ptr1 = ptr1 -> next ;
- ptr2 = ptr2 -> next ;
- }
- return ptr1 ; //找到入口點
- }
第3個問題,如果存在環,求環上節點的個數:
對於這個問題,我這裡有兩個思路(肯定還有其它跟好的辦法):
思路1:記錄下相遇節點存入臨時變數tempPtr,然後讓slow(或者fast,都一樣)繼續向前走slow = slow -> next;一直到slow == tempPtr; 此時經過的步數就是環上節點的個數;
思路2: 從相遇點開始slow和fast繼續按照原來的方式向前走slow = slow -> next; fast = fast -> next -> next;直到二者再次專案,此時經過的步數就是環上節點的個數 。
第一種思路很簡單,其實就是一次遍歷連結串列的環,從而統計出點的個數,沒有什麼可以詳細解釋的了。
對於第二種思路,我們可以這樣想,結合上面的分析,fast和slow沒一次操作都會使得兩者之間的距離較少1。我們可以把兩者相遇的時候看做兩者之間的距離正好是整個環的
長度r。因此,當再次相遇的時候所經過的步數正好是環上節點的數目。
由於這兩種思路都比較簡單,程式碼也很容易實現,這裡就不給出了。
問題4是如果存在環,求出連結串列的長度:
到這裡,問題已經簡單的多了,因為我們在問題1、2、3中已經做得足夠的”準備工作“。
我們可以這樣求出整個連結串列的長度:
連結串列長度L = 起點到入口點的距離 + 環的長度r;
已經知道了起點和入口點的位置,那麼兩者之間的距離很好求了吧!環的長度也已經知道了,因此該問題也就迎刃而解了!
問題5是,求出環上距離任意一個節點最遠的點(對面節點)
如下圖所示,點1和4、點2和5、點3和6分別互為”對面節點“ ,也就是換上最遠的點,我們的要求是怎麼求出換上任意一個點的最遠點。
對於換上任意的一個點ptr0, 我們要找到它的”對面點“,可以這樣思考:同樣使用上面的快慢指標的方法,讓slow和fast都指向ptr0,每一步都執行與上面相同的操作(slow每次跳一步,fast每次跳兩步),
當fast = ptr0或者fast = prt0->next的時候slow所指向的節點就是ptr0的”對面節點“。
為什麼是這樣呢?我們可以這樣分析:
如上圖,我們想像一下,把環從ptro處展開,展開後可以是無限長的(如上在6後重復前面的內容)如上圖。
現在問題就簡單了,由於slow移動的距離永遠是fast的一般,因此當fast遍歷玩整個環長度r個節點的時候slow正好遍歷了r/2個節點,
也就是說,此時正好指向距離ptr0最遠的點。
對於問題6(擴充套件)如何判斷兩個無環連結串列是否相交,和7(擴充套件)如果相交,求出第一個相交的節點,其實就是做一個問題的轉化:
假設有連個連結串列listA和listB,如果兩個連結串列都無環,並且有交點,那麼我們可以讓其中一個連結串列(不妨設是listA)的為節點連線到其頭部,這樣在listB中就一定會出現一個環。
因此我們將問題6和7分別轉化成了問題1和2.
看看下圖就會明白了:
到此結束!休息一下!
參考: