B tree是從其他搜尋樹結構中延伸出來的一種用於外存裝置比如disk的一種資料結構。先拋開B tree與disk的關係，單純地瞭解下資料結構。

1.定義

粗略地來講，B tree定義主要包含以下幾個方面：

（1）每一個節點的結構，節點包含關鍵字key，指標pointer，key數目n和葉節點標誌bool。

（2）順序問題，每一個節點的key以非降序方式排列。而且，如果ci是ki和ki+1兩個關鍵字之間的孩子節點，那麼所有以ci為root的子樹中的key都滿足,k1<=k<=ki+1。整個子樹的關鍵字的範圍都被父節點卡死了。

（3）數目問題，定義一個引數t，那麼對於每一個節點，至多含有2t-1個關鍵字或者2t個子節點，除根節點以外的節點，至少含有t-1個關鍵字或者t個子節點，根節點至少含有1個關鍵字。

（4）平衡性，所有的葉子節點都必須位於同一層。

下面是《演算法導論》一書中的權威定義：

當然，B tree的定義有許多變種，可能會稍有差異，比如有些地方key是以嚴格增序排列的，比如下面會上一個資料庫系統裡面的B tree的定義，這是因為在資料庫中B tree通常建立在主鍵上，是不允許有重複值的，因此定義稍微不同。再比如，B tree的引數t有的地方叫做order，order含義不同，指的是最多的子節點數目，不過換湯不換藥，把最基本最核心的該清楚就可以了。下面是《資料庫系統基礎 6th》一書中給出的定義：

至此，B tree的定義搞清楚了。

2.B tree的優勢

之前，已經有了一些搜尋樹結構可以利用了，為什麼disk儲存結構不適用那些呢？比如二叉搜尋樹，2-3樹，AVL樹或者紅黑樹等等。部分原因在於B tree具有下面的性質：

（1）平衡性，《演算法導論》一書中證明了平衡搜尋樹的查詢，插入和刪除的worst case時間可以被garantee到Ologn，那麼自然我們要追求一棵平衡樹。

（2）飽滿，B tree對每一個節點的都做了限制，比如其中一條要求最少含有t-1個key，這個保證了每一個節點都是至少半滿，因此空間利用率高，樹的高度會降低，效能也會提高。而且B tree的引數t也就是分支數一般很大，也讓樹的高度不會太大。

因此，個人感覺以上兩點決定了B tree的優勢所在，當然代價就是在B tree上的操作也會複雜一些。

3.B tree的高度

結論：假設高度為h，總結點數目為n，那麼h=O(f(n,t))，h有一個上界。

證明：因為這裡找的是h的上界，所以我們考慮最壞情況，每一個節點都儘可能少存，也就是說每一個節點都按含有t個子節點來算，那麼高度能取最大值。考慮每一層的節點數：第一層，1；第二層：2；第三層：2t；第四層：2t^2。。。

因此總數是1+2+2t+....+2t^(h-2) = O(t^h),所以粗略得到h=Ologt n。（以t為底n的對數）

即，樹高一定以t為base的節點數的對數。這個結論可以說明（1）相比其他樹，B tree之所以飽滿是因為高度是以t為底的對數，在相同數目節點前提下，就比以2為底的對數的高度小（比如二叉樹）。另外，高度上界的確定使得B tree其餘操作的上屆也確定，是一個在worst case情況下的保證，這是平衡性保證的。其餘非平衡的比如二叉樹，極限情況下可能退化為連結串列，操作是On的。

4.搜尋操作：

Search(T, k)，過程大致是先看t節點是否有一個ki=k，如果有返回(t,i)，否則如果t是leaf，那麼返回null，否則找到一個i使得ki-1<k<ki，進行一次disck讀取操作，讀取ci，遞迴呼叫search(ci, k)即可。當然是用二分查詢效率更高。

下面是《演算法導論》中的原始碼：

5.分割操作：

如果一個節點是滿的即2t-1，那麼必須先分割才能插入。思路是把kt移至上一層，然後節點分為兩部分，一部分含有k1至kt-1，另一部分含有kt+1至k2t-1。kt移至上一層節點後，其左右指標分別指向這兩個節點。如果上層也是full那麼就要一直遞迴下去直到root，如果root也full，那麼root分裂為兩個，new一個新的root指向這兩部分，這時候樹的高度增加1。補充一點，按照這裡的定義方式，full的情況對應的key是奇數，那麼一定存在中間元素可以上移，但是有些地方定義的full允許有偶數，這時應該是哪個key上移？這時中間會存在兩個key，可以取左邊也可以取右邊，只要保證一致性就可以。

另外，這裡的split是一個一般意義上的split，但是如果我們有一些前提或者假設，那麼情況會簡單一些，如果我們假設要分裂的節點的父節點一定不是full，那麼我們一次操作就可以完成，不需要遞迴，這個假設是有意義的，因為在後續的insert操作中，我們就是利用了這種split。那麼如何保證？因為我們這裡的split只是作為insert的一個呼叫函式來處理的，也就是隻用在insert中，而不是當做一個外界呼叫的介面來定義的。所以考慮insert，總是從root向下查詢插入位置，這時，如果發現當前節點full，就事先做一個split，那麼後續的節點的父節點就總是非full的。這樣演算法實現比較簡單。

下面是《演算法導論》中的在父節點非full情況下的split：

上述程式碼的內容：函式split(x,i)指分裂x節點的第i個子節點即ci。5-9行是設定新的節點的key和子節點，10行是修改y的數目，減半。11-17是把x的指標和key後移，然後放入y節點的原本的中間的key，同時讓x指向z。

6.插入操作：

插入操作很體現B tree的特徵，B tree和二叉搜尋樹不同，二叉樹是每一次新增一個子節點。但是B tree為了保證平衡性，每一次都是在leaf上插入，這樣保證了樹是向上增長的，因為分裂。這個特徵是B tree的關鍵。那麼如何做insert？思路大致是根節點可能是滿的，如果是，先分裂，root現在不是full，可以進行在非full節點插入操作，如何實現在非ful節點插入？先檢測是否為leaf，如果是，那麼插入適當位置返回。否則找到合適子節點，可能full，如果full，先分裂，再遞迴呼叫非full插入函式。這樣做的好處就是保證了上一層的節點是非full得。這樣一共有兩個函式，一個是inert()，一個是insert_nonfull()。insert只調用一次，處理了root滿的情況，然後就是呼叫insert_nonfull。下面是《演算法導論》程式碼：

上述程式碼先檢測root是否滿，若是，則新建一個root，讓新root指向舊root，對新root呼叫split。然後root為非full，再呼叫non_full()。

return case是當前已經是leaf，那麼直接插入即可。否則找到適當的子節點ci，從記憶體讀取一次，然後如果是滿，先split，然後遞迴呼叫insert_non_full()在分割後的節點。否則直接對ci呼叫insert_non_full()。

7.刪除操作：

當呼叫delete（T，k）時，該函式的執行情況大致是

（1）如果t內包含k，且是leaf，那麼直接刪除。如果包含k不是葉節點，那麼如果k兩邊的子節點有一個是至少含有t個key，那麼假設是左邊的子節點y，就把y的最右邊的key1移到當前節點，遞迴刪除y中的key1。如果是右子樹同理。如果包含k且k兩邊的子樹關鍵字個數都是小於t，那麼就合併左右子樹並且把k下放為中間key，遞迴刪除即可。

（注意這裡對應的是第一次進入函式的執行情況，也就是第一個考察的節點就包含關鍵字那麼就做上述處理。有人可能會問如果t包含k且是leaf而且個數小於t，那麼刪除以後就會違反B tree性質？因為這裡是第一個節點，如果它同時也是葉子，那麼說明這棵樹只有一個節點，那麼規則應該變為至少含有一個key。如果真的只含有一個key那麼刪完就是空樹，也是可以的。）

（2）如果t內沒有k，那麼一定存在在為ci為跟的子樹中，如果ci個數為t - 1，那麼如果至少有一個相鄰的兄弟節點至少含有t，就將t的一個key下放至ci，將其兄弟的key上移至t。否則如果兄弟也是t-1，那麼選擇其中一個和ci合併。同時將t的一個key下移成為中間的key。（如果t是根，可能高度會降）

（這裡的思路是如果第一次找不到，那麼在下降至下一個節點時，先保證含有至少t個關鍵字，做預處理。）

8.B tree與disk的一些關係：

首先B tree的引數t與disk有關，我們當然希望t越大越好，但是對於一個節點，設計時要讓其正好位於一個disk的block上，block是IO的基本單位，這樣我們在一次IO就可以讀取到某一個節點的全部資訊，IO操作是代價比較高的，因此我們絕不希望一個節點佔據兩個或者多個block，從而導致多次IO。那麼假設一個節點的key佔據K大小，指標佔據P大小，那麼有Block size >= (2t-1)*P + 2t*K，這樣就可以計算出引數t的大小。但是有個問題，如果t很大，那麼做搜尋的代價也會增加。不過在記憶體做搜尋與disk的IO比起來根本不算什麼。在與disk打交道的領域，IO次數永遠是最重要的因素。

最後B tree是存放在disk上的，我們通過讀取B tree來的值來得到我們要找的資料的block在哪裡。如果沒有B tree，我們只能遍歷disk，這個IO會爆炸，有了B tree，我們只需要Oh就可以得到，這就是B tree的意義所在。

9.一些討論：

這裡是單純地討論了B tree的結構，是一種理論上的結構，如果說應用，比如DBMS中，那麼其實結構會稍微有變化，比如在DBMS中，每一個key還會有一個data指標，指向該關鍵字的block。

另外，B tree的操作也會有不同的版本，這裡給出的是《演算法導論》以及我上大資料課程上的版本，個人也覺得是一個很清晰的版本。當然也有另外的，比如《資料庫系統基礎 6th》一書中，其insert和delete都是做預處理的。而是使用回溯或者遞迴。舉個例子，insert，他是找到相應的leaf，如果大於2t-1，就先分裂再插入，再遞迴處理父節點。這種實現需要記錄遍歷路徑，可以使用stack完成。