hanoi（漢諾）塔問題C++的遞迴實現
阿新 • • 發佈：2019-02-14
Hanoi（漢諾）塔問題。這是一個古典的數學問題，是一個用遞迴方法解題的典型例子。問題是這樣的：古代有一個梵塔，塔內有3 個座A、B、C，開始時A座上有64個盤子，盤子大小不等，大的在下，小的在上。有一個老和尚想把這64個盤子從A座移到C座，但每次只允許移動一個盤，且在移動過程中在3個座上都始終保持大盤在下，小盤在上。在移動過程中可以引用B座，要求程式設計序輸出移動的步驟。
讀者是不大可能直接寫出移動盤子的每一個具體步驟的，請讀者實驗一下按上面的規律將5個盤子從A座移到C座，能否直接寫出每一步驟？
老和尚自然會這樣想：加入有另外一個和尚能有辦法將63個盤子從一個座移到另一座。那麼，問題就解決了。此時老和尚只需這樣做：
（1）命令第2個和尚將63個盤子從A座移到B座；
（2）自己將1個盤子（最底下的，最大的盤子）從A座移到C座；
（3）再命令第2個和尚將63個盤子從B座移到C座。
至此，全部任務完成了。這就是遞迴方法。但是，有一個問題實際上未解決：第2個和尚怎樣才能將63個盤子從A座移到B座？
為了解決將63個盤子從A座移到B座，第2個和尚又想：如果有人能將62個盤子從一個座移到另一座，我就能將63個盤子從A座移到B座，他是這樣做的：
（1）命令第3個和尚將62個盤子從A座移到C座；
（2）自己將1個盤子從A座移到B座；
（3）再命令第3個和尚將62個盤子從C座移到B座。
再進行一次遞迴。如此“層層不放”，直到後來找到第63個和尚，讓他完成將2個盤子從一個座移到另一座，進行到此，問題就接近解決了。最後找到第64個和尚，讓他完成將1個盤子從一個座移到另一座，至此，全部工作都已落實，都是可以執行的。
可以看出，遞迴的結束條件是最後一個和尚只需移一個盤子；否則遞迴還要繼續進行下去。
應當說明，只有第64個和尚的任務完成後，第63個和尚的任務才能完成。只有第2個到第64個和尚任務完成後，第1個和尚的任務才能完成。只是一個典型的遞迴的問題。
為便於理解，先分析講A做上3個盤子移到C座上的過程：
（1）將A座上2個盤子移到B座上（藉助C）；
（2）將A座上1個盤子移到C座上；
（3）將B座上2個盤子移到C座上（藉助A）。
其中第（2）步可以直接實現。第（1）步又可用遞迴方法分解為：
1.1 將A上1個盤子從A移到C；
1.2 將A上1個盤子從A移到B；
1.3 將C上1個盤子從C移到B。
第（3）不可以分解為：
3.1 將B上1個盤子從B移到A上；
3.2 將B上1個盤子從B移到C上；
3.3 將A上1個盤子從A移到C上。
將以上綜合起來，可得到移動3個盤子的步驟為：
A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C。
共經歷7步。由此可推出：移動n個盤子熬經歷2n-1步。如移4個盤子經歷15步，移5個盤子經歷31步，移64個盤子經歷264-1步。
由上面的分析可知：將n個盤子從A座移到C座可以分解為以下3個步驟：
（1）將A上n-1個盤藉助C座先移到B座上；
（2）把A座上剩下的一個盤移到C座上；
（3）將n-1個盤從B座藉助於A座移到C座上。
上面第（1）步和第（3）步，都是把n-1個盤從一個座移到另一個座上，採取的辦法是一樣的，只是座的名字不同而已。為使之一般化可以將第（1）步和第（3）步表示為：
將"one"座上n-1個盤移到"two”座（藉助"three”座）。只是在第（1）步和第（3）步中，one、two、three和A、B、 C的對應關係不同。對第（1）步，對應關係是one對應A，two對應B，three對應C。對第（3）步，是：one對應B，two對應C，three 對應A。
因此，可以把上面3個步驟分成兩類操作：
（1）將n-1個盤從一個座移到另一個座上（n>1）。這就是大和尚讓小和尚做的工作，它是一個遞迴的過程，即和尚將任務層層下放，直到第64個和尚為止。
（2）將1個盤子從一個座上移到另一個座上。這是打和尚自己做的工作。
下面編寫程式。分別用兩個函式實現以上的兩類操作，用hanio函式實現上面第1類操作（即模擬小和尚的任務），用move函式實現上面第2類操作（模擬大和尚自己移盤），函式呼叫hanio(n,one,two,three)表示將n個盤子從"one”座移到"three”座的過程（藉助 “two”座）。函式呼叫move(x,y)表示將1個盤子從x座移到y座的過程。x和y是代表A，B，C座之一，根據每次不同情況分別取A、B、C代入。
程式如下：
讀者是不大可能直接寫出移動盤子的每一個具體步驟的，請讀者實驗一下按上面的規律將5個盤子從A座移到C座，能否直接寫出每一步驟？
老和尚自然會這樣想：加入有另外一個和尚能有辦法將63個盤子從一個座移到另一座。那麼，問題就解決了。此時老和尚只需這樣做：
（1）命令第2個和尚將63個盤子從A座移到B座；
（2）自己將1個盤子（最底下的，最大的盤子）從A座移到C座；
（3）再命令第2個和尚將63個盤子從B座移到C座。
至此，全部任務完成了。這就是遞迴方法。但是，有一個問題實際上未解決：第2個和尚怎樣才能將63個盤子從A座移到B座？
為了解決將63個盤子從A座移到B座，第2個和尚又想：如果有人能將62個盤子從一個座移到另一座，我就能將63個盤子從A座移到B座，他是這樣做的：
（1）命令第3個和尚將62個盤子從A座移到C座；
（2）自己將1個盤子從A座移到B座；
（3）再命令第3個和尚將62個盤子從C座移到B座。
再進行一次遞迴。如此“層層不放”，直到後來找到第63個和尚，讓他完成將2個盤子從一個座移到另一座，進行到此，問題就接近解決了。最後找到第64個和尚，讓他完成將1個盤子從一個座移到另一座，至此，全部工作都已落實，都是可以執行的。
可以看出，遞迴的結束條件是最後一個和尚只需移一個盤子；否則遞迴還要繼續進行下去。
應當說明，只有第64個和尚的任務完成後，第63個和尚的任務才能完成。只有第2個到第64個和尚任務完成後，第1個和尚的任務才能完成。只是一個典型的遞迴的問題。
為便於理解，先分析講A做上3個盤子移到C座上的過程：
（1）將A座上2個盤子移到B座上（藉助C）；
（2）將A座上1個盤子移到C座上；
（3）將B座上2個盤子移到C座上（藉助A）。
其中第（2）步可以直接實現。第（1）步又可用遞迴方法分解為：
1.1 將A上1個盤子從A移到C；
1.2 將A上1個盤子從A移到B；
1.3 將C上1個盤子從C移到B。
第（3）不可以分解為：
3.1 將B上1個盤子從B移到A上；
3.2 將B上1個盤子從B移到C上；
3.3 將A上1個盤子從A移到C上。
將以上綜合起來，可得到移動3個盤子的步驟為：
A→C，A→B，C→B，A→C，B→A，B→C，A→C。
共經歷7步。由此可推出：移動n個盤子熬經歷2n-1步。如移4個盤子經歷15步，移5個盤子經歷31步，移64個盤子經歷264-1步。
由上面的分析可知：將n個盤子從A座移到C座可以分解為以下3個步驟：
（1）將A上n-1個盤藉助C座先移到B座上；
（2）把A座上剩下的一個盤移到C座上；
（3）將n-1個盤從B座藉助於A座移到C座上。
上面第（1）步和第（3）步，都是把n-1個盤從一個座移到另一個座上，採取的辦法是一樣的，只是座的名字不同而已。為使之一般化可以將第（1）步和第（3）步表示為：
將"one"座上n-1個盤移到"two”座（藉助"three”座）。只是在第（1）步和第（3）步中，one、two、three和A、B、 C的對應關係不同。對第（1）步，對應關係是one對應A，two對應B，three對應C。對第（3）步，是：one對應B，two對應C，three 對應A。
因此，可以把上面3個步驟分成兩類操作：
（1）將n-1個盤從一個座移到另一個座上（n>1）。這就是大和尚讓小和尚做的工作，它是一個遞迴的過程，即和尚將任務層層下放，直到第64個和尚為止。
（2）將1個盤子從一個座上移到另一個座上。這是打和尚自己做的工作。
下面編寫程式。分別用兩個函式實現以上的兩類操作，用hanio函式實現上面第1類操作（即模擬小和尚的任務），用move函式實現上面第2類操作（模擬大和尚自己移盤），函式呼叫hanio(n,one,two,three)表示將n個盤子從"one”座移到"three”座的過程（藉助 “two”座）。函式呼叫move(x,y)表示將1個盤子從x座移到y座的過程。x和y是代表A，B，C座之一，根據每次不同情況分別取A、B、C代入。
程式如下：