上一篇我們看了區間型DP的一道經典入門題——石子歸併，這一次同樣是類似的一道題——石子歸併2
題目連結：wikioi 2102
題幹不同之處在於，現在我們的石子不是排成一列了，而是圍成一個環，我們要怎麼把問題轉化成普通的石子歸併呢？
其實這是一種挺常見的演算法技巧——變環為列
方法：長度為len的環 —> 長度為2*len的列
為什麼這樣變換是成立的呢？因為每一種擷取順序都可以在變換後的列出現。
通過這樣一個方法，把一個環形DP變成了普通的DP了，這樣就是普通的石子歸併了，狀態轉移方程是：dp[i][j]=min(dp[i][j] , dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[i:j])

關鍵程式碼：
首先是預處理（變環為列……）：

for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
    a[i+n]=a[i];

接下來是記錄連續和sum陣列：

for(int i=1;i<=2*n;i++)
    sum[i]=sum[i-1]+a[i];

DP過程：

for(int len=2;len<=n+1;len++)
{
    for(int i=1;i<=2*n-len+1;i++)
    {
        int j=i+len
 
-1;
        for(int k=i;k<j;k++)
        {
            dp1[i][j]=max(dp1[i][j],dp1[i][k]+dp1[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            dp2[i][j]=min(dp2[i][j],dp2[i][k]+dp2[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
        }
    }
}

dp1陣列代表最大代價，dp2陣列代表最小代價（初始化要注意哦~）

完整的AC程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
 


using namespace std;

int n,a[205],sum[205];
int dp1[205][205],dp2[205][205];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i+n]=a[i];

    memset(dp1,0,sizeof(dp1));
    memset(dp2,INF,sizeof(dp2));
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        dp2[i][i]=0;

    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];

    for(int len=2;len<=n+1;len++)
    {
        for(int i=1;i<=2*n-len+1;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            for(int k=i;k<j;k++)
            {
                dp1[i][j]=max(dp1[i][j],dp1[i][k]+dp1[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
                dp2[i][j]=min(dp2[i][j],dp2[i][k]+dp2[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
    }
    int minx=INF,maxx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        minx=min(minx,dp2[i][i+n-1]);
        maxx=max(maxx,dp1[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d\n%d\n",minx,maxx);

    return 0;
}

其實這不僅僅是區間DP的例題，而且是環形DP的例題，環形DP的基本思路和解法都是把環轉化成普通的列，這種技巧不僅適用於DP，而且適用於各種字串匹配的題。