三進位制與兩道趣味數學題
阿新 • • 發佈：2019-02-14
現在我們普遍使用十進位制進行數學運算，另一種常使用的進位制是二進位制，在計算機運算之中。
日常生活中好像沒有三進位制的立足之處。1個季度是3個月，應是三進位制。交通訊號的紅綠黃的三種狀態可以表示0、1、2來描述，這似乎與三進位制沾上了邊，可是最近紅綠黃燈多變成了紅綠燈，三進制變成了二進位制。
雖然在日常生活中少有表現的機會，但是用三進位制就非常容易解決兩道經典趣味數學題。
（一）砝碼問題
這道砝碼問題是巴協（Bachet）給出的：要想在天平上稱出1到40磅在內的任何整磅數，問最少需要幾個多重的砝碼？這裡有兩種放置砝碼的辦法：（1）所有砝碼只放進天平的一端，（2）砝碼可以放進天平的兩端。
對於（1），砝碼具有兩種狀態，不放或者放。記不放為0，放為1，這個問題可以使用二進位制來解決。二進位制的砝碼重量設定為1、2、4、8、16、32。在1到1+2+4+8+16+32也就是63之內的任何數量都可以用1、2、4、8、16、32中的某幾個數相加得到。所以問題（1）的砝碼數是6個，每個砝碼的重量設定為1、2、4、8、16、32磅。
對於（2），砝碼具有三種狀態，不放、放在天平左端、放在天平右端。記不放為0，放左邊為1，放右邊為-1，這個問題可以使用三進位制來解決。在三進制中，砝碼的重量設定為1、3、9、27.。在1到1+3+9+27也就是40之內的任何數量都可以用1、3、9、27中的某幾個數相加或者相減獲得。
我們來看這幾個砝碼是如何稱量1到40的：
1=1；2=3-1；3=3 ；4=3+1；5=9-3-1 ；6=9-3 ；
7=9-3+1；8=9-1 ；9=9 ；10=9+1 ；11=9+3-1
……
35=27+9-1； 36=27+9；37=27+9+1
38=27+9+3-1；39=27+9+3；40=27+9+3+1
這裡，加號意味著天平左邊放置砝碼，減號意味著天平右邊放置砝碼（與被稱重的物體放在同一端）。
如果我們增加兩個砝碼81磅和243磅，用6個砝碼可以就稱重1到364磅的重量。如果砝碼繼續按3的冪次增加重量，則稱重的範圍越來越大。用重量為1、3^2、3^3、……、3^n的n個砝碼可以稱出從1到（3^n-1）/2的所有重量。
問題是，如果一個被稱物體較重，我們該如何在天平兩端放置砝碼呢？這裡涉及到十進位制向三進位制的計算。像十進位制轉化為二進位制一樣，轉化方法就是連續的除法運算（這裡不打算詳細介紹）。
例如，（80）10=（2222）3
等式右邊的含義是，80可以用2個1、2個3、2個9、2個27相加而成。
在天平稱重中，我們要的是最少的砝碼數，我們可以把2變成（10-1）3（簡記為-1），也就是說，一個大一級的砝碼減去一個小一級的砝碼。大砝碼放在天平左端，小砝碼和被稱重物一同放在天平右端。
因為，（2222）3=（1000-1）3 ，該式的含義就是用2個1、2個3、2個9、2個27加成的得數等於用1個81減去1的得數。
所以，要稱重80磅的物體，需要在天平左邊放置1個81磅的砝碼，在天平右邊放置一個1磅的砝碼。
又例如，如果我們用最少的砝碼稱出了一個331磅的東西，我們究竟用了哪幾個砝碼呢？
因為（331）10=（110021）3=（110101-10）3
所以，要稱重331磅的物體，需要在天平左邊放置1個243磅的砝碼、1個81磅的砝碼、1個9磅的砝碼、1個1磅的砝碼，在天平右邊放置一個3磅的砝碼。
因為每一次稱量能區別3個球，將12表示為三進位制。
作為練習思考題，我們把巴協（Bachet）的砝碼問題稍稍擴大一些：要想在天平上稱出1到500磅在內的任何整磅數，問最少需要幾個多重的砝碼？這裡有兩種放置砝碼的辦法：（1）所有砝碼只放進天平的一端，（2）砝碼可以放進天平的兩端。
（二）稱球問題
我們先來描述一下這道經典的趣味數學問題：
有12個外表相同的球，其中有1個壞球，它的重量和其他11一個有輕微的（但是可以測量出來的）差別。現在有一架沒有砝碼的很靈敏的天平，問如何稱三次就保證找出那個壞球，並知道它比標準球重（輕也同理）。
現在我們把問題先擱置在一邊，嘗試做一些基礎的工作。
先從3個球開始。把其中的2個球放在天平上，（1）如果天平平衡，則未放進天平中的1球為壞球；（2）如果天平不平衡，壞球必定在天平重的一端。因此，稱量1次就可以找到那個環球。
把球增加到9個。把9個球分成3堆，每堆3個球。把其中2堆放在天平上，（1）如果天平平衡，則未放進天平中的1堆3個球中必有1壞球；（2）如果天平不平衡，壞球必定在天平重的一端的3個球中。對有壞球的3個球中按照上述步驟稱量1次，就可找出那個環球因此，稱量2次就可以找到那個環球。
繼續把球增加到27個。把27個球分成3堆，每堆9個。把其中2堆放在天平上，（1）如果天平平衡，則未放進天平中的1堆9個球中必有1壞球；（2）如果天平不平衡，壞球必定在天平重的一端的9個球中。按照上面步驟，可以找到球球。因此，稱量3次就可以找到壞球。
以此類推，可以得出結論：球的個數為N（其中1個為壞球），轉化為三進位制
N=（100…0）3，假定出現了m個0,0的個數m就是需要稱量的次數m。
例如，81=（10000）3，表示如果在81個球中有一個壞球，稱量4次即可找到那個壞球
729=（1000000）3，表示在729個球中有一個壞球，稱量6次即可找到那個壞球。
上面講述的是球的個數剛好是3的整數m次方的情形。如果球的個數不是如此，又該如何呢？正如一開始就出現的問題那樣，是12個球的情形。
我們先來看4個球的情形。把4個球分成1球、1球、1球和1球共4堆，則2次稱量可找到壞球。再來看8個球的情形，可以分成 3球、3球、2球共3堆，則稱量2次也可找到壞球。
對於12個球的情形可以同樣完成，可以把12個球9球、3球共2堆。按照上面描述的辦法，稱量3個就可以找到壞球。
以此類推，我們的結論是：
球的個數為N（其中1個為壞球），轉化為三進位制
（100…0）3（m+1個0）< N <=（100…0）3（m個0），
m+1就是需要稱量的次數。
也就是說，從27個球找出1個壞球與從10～26個球中找出1個壞球，所需要的稱量次數是完全一樣的，都只需要3次。
我們把任意一個正數N改寫成三進位制的數相加，就可以找到整個稱量的過程。
26=（100）3+（100）3+（10）3+（10）3+（1）3+（1）3
例如，要在26個球中找出其中的1個壞球，只要把26分成9球、9球、3球、3球、1球、1球這樣的6堆，只要稱量3次就可以了。
第一次，9個球放在天平兩端，如天平不平衡，壞球必在某一端的9個球之中，重複上述步驟可找到。如天平平衡；則把未放在天平的3個球、3個球放在天平上。如天平還不平衡，則把1個球、1個球放在天平上，則必定不平衡，壞球找到。
好了，我想類似問題的解決應該是很輕鬆的。例如，100枚硬幣中有1枚重於其他99個標準硬幣的壞硬幣。如何用沒有砝碼的天平，以最少的次數找到這枚壞硬幣。
日常生活中好像沒有三進位制的立足之處。1個季度是3個月，應是三進位制。交通訊號的紅綠黃的三種狀態可以表示0、1、2來描述，這似乎與三進位制沾上了邊，可是最近紅綠黃燈多變成了紅綠燈，三進制變成了二進位制。
雖然在日常生活中少有表現的機會，但是用三進位制就非常容易解決兩道經典趣味數學題。
（一）砝碼問題
這道砝碼問題是巴協（Bachet）給出的：要想在天平上稱出1到40磅在內的任何整磅數，問最少需要幾個多重的砝碼？這裡有兩種放置砝碼的辦法：（1）所有砝碼只放進天平的一端，（2）砝碼可以放進天平的兩端。
對於（1），砝碼具有兩種狀態，不放或者放。記不放為0，放為1，這個問題可以使用二進位制來解決。二進位制的砝碼重量設定為1、2、4、8、16、32。在1到1+2+4+8+16+32也就是63之內的任何數量都可以用1、2、4、8、16、32中的某幾個數相加得到。所以問題（1）的砝碼數是6個，每個砝碼的重量設定為1、2、4、8、16、32磅。
對於（2），砝碼具有三種狀態，不放、放在天平左端、放在天平右端。記不放為0，放左邊為1，放右邊為-1，這個問題可以使用三進位制來解決。在三進制中，砝碼的重量設定為1、3、9、27.。在1到1+3+9+27也就是40之內的任何數量都可以用1、3、9、27中的某幾個數相加或者相減獲得。
我們來看這幾個砝碼是如何稱量1到40的：
1=1；2=3-1；3=3 ；4=3+1；5=9-3-1 ；6=9-3 ；
7=9-3+1；8=9-1 ；9=9 ；10=9+1 ；11=9+3-1
……
35=27+9-1； 36=27+9；37=27+9+1
38=27+9+3-1；39=27+9+3；40=27+9+3+1
這裡，加號意味著天平左邊放置砝碼，減號意味著天平右邊放置砝碼（與被稱重的物體放在同一端）。
如果我們增加兩個砝碼81磅和243磅，用6個砝碼可以就稱重1到364磅的重量。如果砝碼繼續按3的冪次增加重量，則稱重的範圍越來越大。用重量為1、3^2、3^3、……、3^n的n個砝碼可以稱出從1到（3^n-1）/2的所有重量。
問題是，如果一個被稱物體較重，我們該如何在天平兩端放置砝碼呢？這裡涉及到十進位制向三進位制的計算。像十進位制轉化為二進位制一樣，轉化方法就是連續的除法運算（這裡不打算詳細介紹）。
例如，（80）10=（2222）3
等式右邊的含義是，80可以用2個1、2個3、2個9、2個27相加而成。
在天平稱重中，我們要的是最少的砝碼數，我們可以把2變成（10-1）3（簡記為-1），也就是說，一個大一級的砝碼減去一個小一級的砝碼。大砝碼放在天平左端，小砝碼和被稱重物一同放在天平右端。
因為，（2222）3=（1000-1）3 ，該式的含義就是用2個1、2個3、2個9、2個27加成的得數等於用1個81減去1的得數。
所以，要稱重80磅的物體，需要在天平左邊放置1個81磅的砝碼，在天平右邊放置一個1磅的砝碼。
又例如，如果我們用最少的砝碼稱出了一個331磅的東西，我們究竟用了哪幾個砝碼呢？
因為（331）10=（110021）3=（110101-10）3
所以，要稱重331磅的物體，需要在天平左邊放置1個243磅的砝碼、1個81磅的砝碼、1個9磅的砝碼、1個1磅的砝碼，在天平右邊放置一個3磅的砝碼。
因為每一次稱量能區別3個球，將12表示為三進位制。
作為練習思考題，我們把巴協（Bachet）的砝碼問題稍稍擴大一些：要想在天平上稱出1到500磅在內的任何整磅數，問最少需要幾個多重的砝碼？這裡有兩種放置砝碼的辦法：（1）所有砝碼只放進天平的一端，（2）砝碼可以放進天平的兩端。
（二）稱球問題
我們先來描述一下這道經典的趣味數學問題：
有12個外表相同的球，其中有1個壞球，它的重量和其他11一個有輕微的（但是可以測量出來的）差別。現在有一架沒有砝碼的很靈敏的天平，問如何稱三次就保證找出那個壞球，並知道它比標準球重（輕也同理）。
現在我們把問題先擱置在一邊，嘗試做一些基礎的工作。
先從3個球開始。把其中的2個球放在天平上，（1）如果天平平衡，則未放進天平中的1球為壞球；（2）如果天平不平衡，壞球必定在天平重的一端。因此，稱量1次就可以找到那個環球。
把球增加到9個。把9個球分成3堆，每堆3個球。把其中2堆放在天平上，（1）如果天平平衡，則未放進天平中的1堆3個球中必有1壞球；（2）如果天平不平衡，壞球必定在天平重的一端的3個球中。對有壞球的3個球中按照上述步驟稱量1次，就可找出那個環球因此，稱量2次就可以找到那個環球。
繼續把球增加到27個。把27個球分成3堆，每堆9個。把其中2堆放在天平上，（1）如果天平平衡，則未放進天平中的1堆9個球中必有1壞球；（2）如果天平不平衡，壞球必定在天平重的一端的9個球中。按照上面步驟，可以找到球球。因此，稱量3次就可以找到壞球。
以此類推，可以得出結論：球的個數為N（其中1個為壞球），轉化為三進位制
N=（100…0）3，假定出現了m個0,0的個數m就是需要稱量的次數m。
例如，81=（10000）3，表示如果在81個球中有一個壞球，稱量4次即可找到那個壞球
729=（1000000）3，表示在729個球中有一個壞球，稱量6次即可找到那個壞球。
上面講述的是球的個數剛好是3的整數m次方的情形。如果球的個數不是如此，又該如何呢？正如一開始就出現的問題那樣，是12個球的情形。
我們先來看4個球的情形。把4個球分成1球、1球、1球和1球共4堆，則2次稱量可找到壞球。再來看8個球的情形，可以分成 3球、3球、2球共3堆，則稱量2次也可找到壞球。
對於12個球的情形可以同樣完成，可以把12個球9球、3球共2堆。按照上面描述的辦法，稱量3個就可以找到壞球。
以此類推，我們的結論是：
球的個數為N（其中1個為壞球），轉化為三進位制
（100…0）3（m+1個0）< N <=（100…0）3（m個0），
m+1就是需要稱量的次數。
也就是說，從27個球找出1個壞球與從10～26個球中找出1個壞球，所需要的稱量次數是完全一樣的，都只需要3次。
我們把任意一個正數N改寫成三進位制的數相加，就可以找到整個稱量的過程。
26=（100）3+（100）3+（10）3+（10）3+（1）3+（1）3
例如，要在26個球中找出其中的1個壞球，只要把26分成9球、9球、3球、3球、1球、1球這樣的6堆，只要稱量3次就可以了。
第一次，9個球放在天平兩端，如天平不平衡，壞球必在某一端的9個球之中，重複上述步驟可找到。如天平平衡；則把未放在天平的3個球、3個球放在天平上。如天平還不平衡，則把1個球、1個球放在天平上，則必定不平衡，壞球找到。
好了，我想類似問題的解決應該是很輕鬆的。例如，100枚硬幣中有1枚重於其他99個標準硬幣的壞硬幣。如何用沒有砝碼的天平，以最少的次數找到這枚壞硬幣。