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我們首先來看看瑞利商的定義。瑞利商是指這樣的函式R(A,x):

　　　　其中x為非零向量，而A為n×n的Hermitan矩陣。所謂的Hermitan矩陣就是滿足共軛轉置矩陣和自己相等的矩陣，即AH=A。如果我們的矩陣A是實矩陣，則滿足AT=A的矩陣即為Hermitan矩陣。

　　　　瑞利商R(A,x)有一個非常重要的性質，即它的最大值等於矩陣A最大的特徵值，而最小值等於矩陣A的最小的特徵值，也就是滿足

　　　　具體的證明這裡就不給出了。當向量x是標準正交基時，即滿足xHx=1時，瑞利商退化為：R(A

　　　　以上就是瑞利商的內容，現在我們再看看廣義瑞利商。廣義瑞利商是指這樣的函式R(A,B,x):

　　　　其中x為非零向量，而A,B為n×n的Hermitan矩陣。B為正定矩陣。它的最大值和最小值是什麼呢？其實我們只要通過將其通過標準化就可以轉化為瑞利商的格式。我們令x′=B−1/2x,則分母轉化為：

　　　　而分子轉化為：

　　　　此時我們的R(A,B,x)轉化為R(A,B,

　　　　利用前面的瑞利商的性質，我們可以很快的知道，R(A,B,x)的最大值為矩陣B−1/2AB−1/2的最大特徵值，或者說矩陣B−1A的最大特徵值，而最小值為矩陣B−1A的最小特徵值。如果你看過我寫的譜聚類（spectral clustering）原理總結第6.2節的話，就會發現這裡使用了一樣的技巧，即對矩陣進行標準化。