教科書上有嚴格的證明，這個答案試圖通過類比來提供一些直觀上的理解。大概的結論是，多元函式的Hessian矩陣就類似一元函式的二階導。多元函式Hessian矩陣半正定就相當於一元函式二階導非負，半負定就相當於一元函式二階導非正。如果這個類比成立的話，凸函式的Hessian恆半正定就非常容易理解了——這是一元凸函式二階導必非負的多元拓展。

至於為什麼這個類是有道理的，你要這麼看。對一元函式f(x)來說，就極值而言，一階導為0是極值點的必要但不充分條件，一階導為0切二階導非負是極小值的充要條件。為什麼呢，因為有泰勒展開。如果一階導為0，二階導非負，dx不論是多少，f(x)一定不比f(x0)小。

你把多元函式也個泰勒展開，主要區別在於：
1) 二階導變成了Hessian。
2) 以前只要考慮x怎麼變，現在還要考慮y怎麼變，x和y怎麼一起變，頭疼了很多。
以二元為例，

然後“對於任意,一直非負”這是啥？半正定的定義嘛！它就是這麼引出來的，也是我們為什麼需要半正定這個概念的原因（之一）。