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今天$HH$在學數論,他看到一個很優美的式子:

${\sum }_{i=1}^n{i}^{k}modp$

一向熱衷於抱隊友大腿的$HH$便問隊友$ZZ$怎麼做

$ZZ$:"$n,k$多大?"

$HH$:"${10}^5,{10}^5$"

$ZZ$:"快速冪嘛"

$HH$:"${10}^9,{10}^5$"

$ZZ$:"拉格朗日插值嘛"

$HH$:"${10}^{18},{10}^{18}$"

隊友:"讓我想想.."

通過打表能夠找到規律：

①首先我們知道，i^k%p和（i+p）^k%p的價值是一樣的。

那麼肯定以長度p為迴圈節，是有迴圈內容的。

②當k不是p-1的倍數的時候，我們發現，每一段長度為p的內容加和%p都是0.

②當k是p-1的倍數的時候，我們發現，每一段長度為p的內容加和都是p-1.

那麼按照這個規律寫一下即可。

注意k==0的時候。

Ac程式碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
#define ll long long int
ll n,p,k;
ll kuaisucheng(ll a,ll b)
{
    ll ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans+a);
            if(ans>=p)ans-=p;
        }
        a=(a+a);
        if(a>=p)a-=p;
        b/=2;
    }
    return ans;
}
ll kuaisumi(ll a,ll b)
{
        a%=p;
        ll ans=1;
        while(b)
        {
            if(b&1)
            {
                ans=kuaisucheng(ans,a);
            }
            a=kuaisucheng(a,a);
            b/=2;
        }
        return ans;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&k,&p);
        if(k==0)
        {
            printf("%lld\n",n%p);
            continue;
        }
        ll sum=0;
        if(k%(p-1)==0)
        {
            sum+=kuaisucheng((ll)n/p,p-1);
            sum%=p;
        }
        n%=p;
        for(ll i=1;i<=n;i++)
        {
            sum+=kuaisumi(i,k);
            sum%=p;
        }
        printf("%lld\n",sum%p);
    }
}