上個月在eBay上海進行了二面，一共4輪，每輪45分鐘左右。感覺基礎的資料結構，演算法，Java語言的題目回答得還行，對於一些開放的Problem Solving型別的問題有點兒束手無策。自然，最後的結果也是被鄙視了。有些失落，不過最讓我失落的不是沒有回答好那些開放的題，而是被問到如標題所述的問題時，腦子一片空白。

在準備面試的過程中，就會發現，利用快慢指標檢測單向連結串列中是否存在環的答案遍地都是。而這些答案中幾乎一致地默認了設定快指標的步長為2。然後我們就記住了這些答案，信心滿滿地準備迎接面試。當然，大部分公司也就看你知不知道怎麼檢測出環，再深入一點兒就問你怎麼確定環的起始位置。但是再深入一點兒呢？為什麼快指標的步長非得是2，而不能是3，4，5，或者其他的呢？

這篇部落格就是解釋為什麼步長選擇的是2，同時提醒我自己知其然，而不知其所以然的代價。

問題：

1. 給你一個單向連結串列，實現一個演算法，判斷這個連結串列中是否存在環；
2. 如果存在環，返回環的起始結點；
3. （如果這個時候你給出的實現是用的快慢指標，而且步長是2）步長選擇3，4，5，或者其它的可以解決以上兩個問題嗎？如果也可以，那麼為什麼你選擇的步長是2？

證明快慢指標在環中是可以相遇的：

證明這個問題？可能你會說，只要快慢兩個指標都進入環中，兩者有速度差，快指標就一定能夠追上慢指標。可是這兒“追上”有可能是兩種情況（注意，這兒討論的是一般情況，快指標步長k >= 2），一是恰好追上（也就是相遇了），二是追上並超過了慢指標。當然，這兩種情況都不妨礙我們判斷是否有環存在。但是對於問題2，網上給出的解法通常都以恰好相遇為前提，求出起始結點的（至於怎麼求，稍後會講到）。那既然這樣，我們就有必要證明無論快指標步長k為多少，快慢指標在環中都能恰好相遇。 證明開始： 首先，換個角度想問題。用一個步長為1的指標模擬遍歷這個單向連結串列的過程。如上圖所示，設單向連結串列的起始結點為X0（0是下標，可惜CSDN還不支援上下標輸入），環的起始結點為Xs。自然，遍歷到最後就是一遍遍的重複這個環。如果，我們把遍歷的項都不斷記錄到一個數組中的話(下標按次序遞增)，最後就是一定長度的序列串的重複。例如， X0, X1, ... , Xs,      Xs+1,       ..., Xs+cl-1     Xs+cl, Xs+cl+1, ..., Xs+2*cl-1     ... cl (circle length)表示環的長度。 假設 j 是 cl 的整數倍，並且是 cl 整數倍中滿足 j > s 最小的那個數。對於任意的 k (k >= 2)，我們考慮下標分別為 j 和 jk 的兩個位置 Xj 和 Xjk。可見，Xj 就是慢指標走了 j 步之後的位置，而 j > s 則保證了此時慢指標已經進入環中。同理，此時的快指標在位置 Xjk，必然也在環中。 因為 j 是 cl 的整數倍，我們可以把 Xjk 看成是一個指標從位置 Xj 開始，走了 (k - 1) 次的 j 步。而每走 j 步，在單向連結串列的環中，其實又回到了 Xj 位置，因為 j 是 cl 的整數倍。所以我們有，Xj = Xjk 。這樣，我們就證明了快慢指標肯定會恰好相遇的問題。

為什麼快指標步長要為2呢？

有了上面證明的基礎，就不難發現 k 越小，所需的遍歷次數就越少，因為給定一個帶環的單向連結串列，j 的取值是確定的。所以，取 k ＝ 2。 正規一點兒的分析，如下： 因為 j 是 cl 的整數倍，並且是 cl 整數倍中滿足 j > s 最小的那個數。如果 s <= cl，那麼 j = cl；如果 s > cl，那麼 j < 2*s ，所以 j 的時間複雜度為 O(s + cl)。假設單向連結串列中結點的個數為 n，因為 s 和 cl 都是小於 n 的，所以 j = O(n) 。這是慢指標的時間複雜度，那麼快指標的就是 O(nk) 。所以取 k = 2 ，可以最小化演算法的執行時間。

如何確定環的起始結點？

在確定了 k 取2之後，我們考慮

1. 當慢指標剛好進入環中，也就是慢指標走了 s 步之後，快指標走了 2*s 步，所以快指標在環中走了 2*s - s = s 步；
2. 由於存在 s > cl 的情況，我們記快指標超出 Xs 的距離是 s % cl ；
3. 此時，快指標需要追及慢指標的距離是 cl - s % cl；
4. 因此，當慢指標在環中走了cl - s % cl 步後，快指標追上了慢指標；

所以，相遇之後的慢指標距離 Xs 的距離是 cl - (cl - s % cl) = s % cl 。因為有環的存在，我們可以把這個距離看成 s + M * cl，M 是正整數。所以相遇時的慢指標距離環的起始結點Xs 是 s 。這時，我們再設定另一個指標從單向連結串列的頭開始，以步長為 1 移動，移動 s 步後相遇，而這個相遇結點正好就是環的起始結點。

總結

至此，證明完畢，同時也回答了題目中的3個問題。雖然有點兒偏數學的證明推倒，而且我覺得面試的時候沒必要問這麼細，但是萬一面試官正好就問了這個問題，而你又能這樣詳細地說明解題思路，自然會給面試官留下一個非常好的印象，那麼你拿到offer的概率也就更大。

References