最近本人腦洞大開，發現了一種線性篩約數個數和約數和的一種神奇方法。

網上的方法我看基本都是利用num[i]數組記錄i最小的質因子的個數，然後再搞搞。

我認為可以省去num[i]數組，直接進行遞推。

我們知道，n的標準分解式為：

那麽n的約數個數及約數和分別為：

對於線性篩函數f(i)，只需要知道4個東西。

1：f(1) = ?

　　很顯然，d(1) = 1,o(1) = 1;

2：f(p) = ?，其中p為質數。

　　同樣很顯然，d(p) = 2,o(p) = p+1;

3、4：f(i*pj) = ?，i與pj互質或不互質。

若i與pj互質，則我們可以利用積性函數的性質直接推出：

最後思考當i與pj不互質的時候，考慮i，i*pj，i/pj的關系(i與pj不互質即i%pj==0)

設：

則有：

進行換元方便計算，設：

就是把pj那一項去掉

則有：

將第一個式子與第二個相減，得到：

那麽就已經出來了，

同理，約數和也可以像這樣推出來。

補上代碼：

int pr[N],vis[N],d[N],sigma[N],cnt;
void make(int n)
{
    d[1] = sigma[1] = 1;
    for(int i = 2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])pr[++cnt] = i,d[i] = 2,sigma[i] = i+1;
        for(int j = 1;i*pr[j]<=n&&j<=cnt;j++)
        {
            vis[i
 
*pr[j]] = 1;
            if(i%pr[j]==0)
            {
                d[i*pr[j]] = d[i]*2-d[i/pr[j]];
                sigma[i*pr[j]] = pr[j]*(sigma[i]-sigma[i/pr[j]])+sigma[i];
                break;
            }d[i*pr[j]] = d[i]*2;
            sigma[i*pr[j]] = sigma[i]*(pr[j]+1);
        }
    }
    
 
for(int i = 1;i<=n;i++)printf("%d %d\n",d[i],sigma[i]);
}

線性篩約數個數、約數和的新方法